ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности,

б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.

а) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на пять дают в остатке два:

$$a_1 = 2 + 5 = 7 \quad \text{и} \quad d = 5;$$ $$a_2 = a_1 + d = 7 + 5 = 12;$$ $$a_3 = a_2 + d = 12 + 5 = 17;$$ $$a_4 = a_3 + d = 17 + 5 = 22;$$ $$a_5 = a_4 + d = 22 + 5 = 27;$$

Ответ: $7; 12; 17; 22; 27$.

б) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке три:

$$a_1 = 3 + 4 = 7 \quad \text{и} \quad d = 4;$$ $$a_6 = a_1 + 5d = 7 + 5 \cdot 4 = 7 + 20 = 27;$$ $$S_6 = \frac{a_1 + a_5}{2} \cdot 6 = (7 + 27) \cdot 3 = 34 \cdot 3 = 102;$$

Ответ: $102$.

а)

Нам дана последовательность натуральных чисел, которые при делении на пять дают в остатке два. Для нахождения такой последовательности мы используем известные свойства арифметической прогрессии.

Формулировка задачи:
Нам нужно найти последовательность чисел, которая при делении на 5 дает остаток 2. Это можно записать в виде:

$$a_n \equiv 2 \pmod{5}$$

То есть, каждое число из последовательности должно быть вида $5k + 2$, где $k$ — целое число.

Начальное значение и разность:
Рассмотрим первое число $a_1$. Нам говорят, что оно равно:

$$a_1 = 7$$

Это первое число уже подходит, так как при делении 7 на 5 остаток равен 2.

Разность $d$ последовательности также дана: $d = 5$, так как числа в последовательности увеличиваются на 5, чтобы удовлетворять условию остатка 2 при делении на 5.

Нахождение следующих членов последовательности:
Теперь давайте найдем несколько следующих членов последовательности, добавляя разность $d = 5$ к предыдущему числу:

• Второе число:

  $$a_2 = a_1 + d = 7 + 5 = 12$$

• Третье число:

  $$a_3 = a_2 + d = 12 + 5 = 17$$

• Четвертое число:

  $$a_4 = a_3 + d = 17 + 5 = 22$$

• Пятое число:

  $$a_5 = a_4 + d = 22 + 5 = 27$$

Ответ:
Последовательность первых пяти чисел, которые при делении на 5 дают остаток 2:

$$7, 12, 17, 22, 27$$

б)

Задача аналогична, но теперь речь идет о последовательности чисел, которые при делении на четыре дают остаток 3. Используем аналогичный подход.

Формулировка задачи:
Нам нужно найти последовательность чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3. Это можно записать в виде:

$$a_n \equiv 3 \pmod{4}$$

То есть, каждое число из последовательности должно быть вида $4k + 3$, где $k$ — целое число.

Начальное значение и разность:
Рассмотрим первое число $a_1$. Нам говорят, что оно равно:

$$a_1 = 7$$

Это число также при делении на 4 дает остаток 3, так как $7 \div 4 = 1$ с остатком 3.

Разность $d$ последовательности снова равна 4, так как числа увеличиваются на 4, чтобы удовлетворять условию остатка 3 при делении на 4.

Нахождение чисел для $n = 2, 3, 4, 5$:
Для нахождения чисел до пятого мы также добавляем разность $d = 4$:

• Второе число:

  $$a_2 = a_1 + d = 7 + 4 = 11$$

• Третье число:

  $$a_3 = a_2 + d = 11 + 4 = 15$$

• Четвертое число:

  $$a_4 = a_3 + d = 15 + 4 = 19$$

• Пятое число:

  $$a_5 = a_4 + d = 19 + 4 = 23$$

• Шестое число:

  $$a_6 = a_5 + d = 23 + 4 = 27$$

Нахождение суммы первых шести чисел:
Для нахождения суммы первых шести чисел, использующих формулу суммы арифметической прогрессии, применяется формула:

$$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$$

где $n = 6$, $a_1 = 7$, а $a_6 = 27$. Подставляем эти значения:

$$S_6 = \frac{6}{2} \cdot (7 + 27) = 3 \cdot 34 = 102$$

Ответ:
Сумма первых шести чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3:

$$102$$