ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите примеры последовательностей, заданных:

a) с помощью формулы n-го члена;

б) словесно;

в) рекуррентным способом.

а) Последовательности, заданные формулой $n$-го члена:

$$a_n = 5n — 4;$$ $$a_n = 3 + 2n^2;$$ $$a_n = 9^n;$$

б) Последовательности, заданные словесно:

• Последовательность чисел, обратных натуральным;
• Последовательность квадратов простых чисел;
• Последовательность положительных чисел, кратных пяти;

в) Последовательности, заданные рекуррентным способом:

$$a_1 = 5 \text{ и } a_{n+1} = a_n + 3;$$ $$b_1 = 4 \text{ и } b_{n+1} = b_n \cdot 9;$$ $$c_1 = 1 \text{ и } c_{n+1} = \frac{1}{c_n}$$

а) Последовательности, заданные формулой $n$-го члена:

Последовательность: $a_n = 5n — 4$

Это последовательность, заданная линейной формулой. Чтобы найти элементы последовательности, подставим различные значения $n$ в формулу.

• Для $n = 1$: $a_1 = 5(1) — 4 = 1$
• Для $n = 2$: $a_2 = 5(2) — 4 = 6$
• Для $n = 3$: $a_3 = 5(3) — 4 = 11$
• Для $n = 4$: $a_4 = 5(4) — 4 = 16$
• Для $n = 5$: $a_5 = 5(5) — 4 = 21$

Последовательность: $1, 6, 11, 16, 21, \dots$

Последовательность: $a_n = 3 + 2n^2$

Это последовательность, заданная квадратичной формулой. Для нахождения её членов подставим различные значения $n$:

• Для $n = 1$: $a_1 = 3 + 2(1)^2 = 5$
• Для $n = 2$: $a_2 = 3 + 2(2)^2 = 11$
• Для $n = 3$: $a_3 = 3 + 2(3)^2 = 21$
• Для $n = 4$: $a_4 = 3 + 2(4)^2 = 35$
• Для $n = 5$: $a_5 = 3 + 2(5)^2 = 53$

Последовательность: $5, 11, 21, 35, 53, \dots$

Последовательность: $a_n = 9^n$

Это геометрическая последовательность, где каждый следующий член равен $9$, возведённому в степень $n$. Подставляем разные значения $n$:

• Для $n = 1$: $a_1 = 9^1 = 9$
• Для $n = 2$: $a_2 = 9^2 = 81$
• Для $n = 3$: $a_3 = 9^3 = 729$
• Для $n = 4$: $a_4 = 9^4 = 6561$
• Для $n = 5$: $a_5 = 9^5 = 59049$

Последовательность: $9, 81, 729, 6561, 59049, \dots$

б) Последовательности, заданные словесно:

Последовательность чисел, обратных натуральным числам:

Эта последовательность состоит из чисел, которые равны $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число.

• Для $n = 1$: $\frac{1}{1} = 1$
• Для $n = 2$: $\frac{1}{2} = 0.5$
• Для $n = 3$: $\frac{1}{3} \approx 0.333$
• Для $n = 4$: $\frac{1}{4} = 0.25$
• Для $n = 5$: $\frac{1}{5} = 0.2$

Последовательность: $1, 0.5, 0.333, 0.25, 0.2, \dots$

Последовательность квадратов простых чисел:

Простые числа — это такие числа, которые делятся только на 1 и на себя. Для каждого простого числа мы возводим его в квадрат:

• Простые числа: $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$
• Квадраты этих чисел: $2^2 = 4, 3^2 = 9, 5^2 = 25, 7^2 = 49, 11^2 = 121, 13^2 = 169, \dots$

Последовательность: $4, 9, 25, 49, 121, 169, \dots$

Последовательность положительных чисел, кратных пяти:

Это последовательность чисел, которые делятся на 5. Они равны $5n$, где $n$ — натуральное число:

• Для $n = 1$: $5(1) = 5$
• Для $n = 2$: $5(2) = 10$
• Для $n = 3$: $5(3) = 15$
• Для $n = 4$: $5(4) = 20$
• Для $n = 5$: $5(5) = 25$

Последовательность: $5, 10, 15, 20, 25, \dots$

в) Последовательности, заданные рекуррентным способом:

Последовательность: $a_1 = 5$ и $a_{n+1} = a_n + 3$

Это арифметическая последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на 3:

• $a_1 = 5$
• $a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8$
• $a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11$
• $a_4 = a_3 + 3 = 11 + 3 = 14$
• $a_5 = a_4 + 3 = 14 + 3 = 17$

Последовательность: $5, 8, 11, 14, 17, \dots$

Последовательность: $b_1 = 4$ и $b_{n+1} = b_n \cdot 9$

Это геометрическая последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на 9:

• $b_1 = 4$
• $b_2 = b_1 \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$
• $b_3 = b_2 \cdot 9 = 36 \cdot 9 = 324$
• $b_4 = b_3 \cdot 9 = 324 \cdot 9 = 2916$
• $b_5 = b_4 \cdot 9 = 2916 \cdot 9 = 26244$

Последовательность: $4, 36, 324, 2916, 26244, \dots$

Последовательность: $c_1 = 1$ и $c_{n+1} = \frac{1}{c_n}$

Эта последовательность имеет интересное поведение, так как каждый следующий элемент является обратным значением предыдущего:

• $c_1 = 1$
• $c_2 = \frac{1}{c_1} = \frac{1}{1} = 1$
• $c_3 = \frac{1}{c_2} = \frac{1}{1} = 1$
• $c_4 = \frac{1}{c_3} = \frac{1}{1} = 1$

Последовательность: $1, 1, 1, 1, 1, \dots$

Таким образом, мы подробно рассмотрели три типа задания последовательностей: через формулу $n$-го члена, словесно и с помощью рекуррентных соотношений.