ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Последовательность состоит из квадратов простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности. (Число 1 не считается ни простым, ни составным).

б) Известно, что $(y_n)$ — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: $y_5$, $y_8$, $y_{37}$, $y_{2n}$, $y_{2n+1}$, $y_{2n-3}$.

а) Последовательность квадратов простых чисел:

$$a_1 = 2^2 = 4;$$ $$a_2 = 3^2 = 9;$$ $$a_3 = 5^2 = 25;$$ $$a_4 = 7^2 = 49;$$ $$a_5 = 11^2 = 121;$$ $$a_6 = 13^2 = 169;$$ $$a_7 = 17^2 = 289;$$ $$a_8 = 19^2 = 361;$$ $$S_8 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361 = 1027;$$

Ответ: 1027.

б) Последовательность всех натуральных степеней числа 3:

$$y_n = 3^n;$$ $$y_5 = 3^5 = 243;$$ $$y_8 = 3^8 = 6 \, 561;$$ $$y_{37} = 3^{37};$$ $$y_{2n} = 3^{2n};$$ $$y_{2n+1} = 3^{2n+1};$$ $$y_{2n-3} = 3^{2n-3}.$$

а) Последовательность квадратов простых чисел

Задание: Нам дана последовательность квадратов простых чисел, и нужно найти сумму первых восьми элементов этой последовательности.

Шаг 1: Определяем последовательность

Мы имеем последовательность чисел, каждое из которых является квадратом простого числа. Простые числа — это такие числа, которые больше 1 и делятся только на 1 и на себя. Вот первые простые числа:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$$

Нам нужно возвести каждое из этих чисел в квадрат, чтобы получить элементы последовательности.

Шаг 2: Находим квадраты простых чисел

Теперь возведем каждое из этих простых чисел в квадрат:

1. $a_1 = 2^2 = 4$
2. $a_2 = 3^2 = 9$
3. $a_3 = 5^2 = 25$
4. $a_4 = 7^2 = 49$
5. $a_5 = 11^2 = 121$
6. $a_6 = 13^2 = 169$
7. $a_7 = 17^2 = 289$
8. $a_8 = 19^2 = 361$

Итак, последовательность квадратов простых чисел выглядит так:

$$a_1=4,a_2=9,a_3=25,a_4=49,$$

$$a_1 = 4, \quad a_2 = 9, \quad a_3 = 25, \quad a_4 = 49, \quad a_5 = 121, \quad a_6 = 169, \quad a_7 = 289, \quad a_8 = 361$$

Шаг 3: Находим сумму этих чисел

Теперь нам нужно найти сумму первых восьми элементов этой последовательности:

$$S_8 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8$$

Подставим значения:

$$S_8 = 4 + 9 + 25 + 49 + 121 + 169 + 289 + 361$$

Посчитаем шаг за шагом:

1. $4 + 9 = 13$
2. $13 + 25 = 38$
3. $38 + 49 = 87$
4. $87 + 121 = 208$
5. $208 + 169 = 377$
6. $377 + 289 = 666$
7. $666 + 361 = 1027$

Итак, сумма первых восьми чисел этой последовательности:

$$S_8 = 1027$$

Ответ: $S_8 = 1027$.

б) Последовательность всех натуральных степеней числа 3

Задание: Нам дана последовательность степеней числа 3, и нужно рассмотреть некоторые элементы этой последовательности.

Шаг 1: Определяем общую форму последовательности

Нам дана последовательность всех натуральных степеней числа 3. Это означает, что каждый элемент последовательности можно выразить как $3^n$, где $n$ — натуральное число.

$$y_n = 3^n$$

Мы также рассматриваем несколько конкретных значений для определённых $n$, а именно $n = 5$, $n = 8$, и $n = 37$, а также выражаем элементы для четных и нечетных индексов.

Шаг 2: Находим конкретные элементы последовательности

$y_5 = 3^5$

Для $n = 5$ мы находим:

$$y_5 = 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$$

$y_8 = 3^8$

Для $n = 8$ мы находим:

$$y_8 = 3^8 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 6561$$

$y_{37} = 3^{37}$

Для $n = 37$ мы просто записываем степень, так как значение очень большое, и вычисления вручную займут много времени. Мы просто оставим это выражение:

$$y_{37} = 3^{37}$$

Шаг 3: Рассматриваем четные и нечетные индексы

Далее, рассматриваем общие выражения для четных и нечетных индексов.

1. Для четных индексов $y_{2n} = 3^{2n}$, где $n$ — натуральное число. Это означает, что для любого четного индекса $2n$, его значение будет равно степени 3, возведенной в удвоенное число $n$.
2. Для нечетных индексов $y_{2n+1} = 3^{2n+1}$, где $n$ — натуральное число. Это означает, что для любого нечетного индекса $2n+1$, его значение будет равно степени 3, возведенной в $2n+1$.
3. Еще одно выражение: $y_{2n-3} = 3^{2n-3}$. Это также общий вид для определенного индекса, где $2n-3$ — это число, которое мы подставляем вместо $n$ в степень 3.

Ответ:

Итак, мы имеем следующие выражения:

• $y_5 = 3^5 = 243$
• $y_8 = 3^8 = 6561$
• $y_{37} = 3^{37}$
• $y_{2n} = 3^{2n}$
• $y_{2n+1} = 3^{2n+1}$
• $y_{2n-3} = 3^{2n-3}$

Итоговый ответ:

а) $S_8 = 1027$

б) Последовательность всех натуральных степеней числа 3:

$$y_5=243,y_8=6561,y_{37}=3^{37},y_{2n}=3^{2n},$$

$$y_5 = 243, \quad y_8 = 6561, \quad y_{37} = 3^{37}, \quad y_{2n} = 3^{2n}, \quad y_{2n+1} = 3^{2n+1}, \quad y_{2n-3} = 3^{2n-3}.$$