ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задайте формулой n-го члена и рекуррентным способом:

a) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4;

б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5;

в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно);

г) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).

а) Последовательность всех четных натуральных чисел, которые не делятся на четыре:
$a_1 = 2 \quad \text{и} \quad d = 2 + 2 = 4;$
$a_n = 2 + 4(n-1) = 2 + 4n — 4 = 4n — 2;$
$a_1 = 2 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 4;$

б) Последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5:
$a_1 = 13 + 5 = 18 \quad \text{и} \quad d = 13;$
$a_n = 18 + 13(n-1) = 18 + 13n — 13 = 13n + 5;$
$a_1 = 18 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 13;$

в) Последовательность всех натуральных чисел, которые делятся одновременно на 3 и на 7:
$a_1 = 3 \cdot 7 = 21 \quad \text{и} \quad d = 3 \cdot 7 = 21;$
$a_n = 21 + 21(n-1) = 21 + 21n — 21 = 21n;$
$a_1 = 21 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 21;$

г) Последовательность всех четных натуральных чисел, которые делятся одновременно на 3 и на 5:
$a_1 = 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30 \quad \text{и} \quad d = 3 \cdot 5 \cdot 2 = 30;$
$a_n = 30 + 30(n-1) = 30 + 30n — 30 = 30n;$
$a_1 = 30 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 30.$

а) Последовательность всех четных натуральных чисел, которые не делятся на четыре.

1. Определим четные числа, не делящиеся на четыре:

Четные числа — это числа, которые делятся на 2. Формально их можно записать как:

$$a_n = 2n, \quad \text{где} \, n \in \mathbb{N}.$$

Однако нам нужно выбрать только те четные числа, которые не делятся на четыре. Число делится на четыре, если оно кратно 4, то есть $a_n = 4k$. Таким образом, четные числа, которые не делятся на 4, можно записать как:

$$a_n = 2n, \quad \text{где} \, n \text{ — натуральное число, не кратное 2}.$$

2. Начальный член и разность:

• Начальный элемент последовательности $a_1 = 2$, так как 2 — это первое четное число.
• Следующие числа последовательности увеличиваются на 4, так как разность между любыми двумя соседними четными числами, не кратными 4, составляет 4 (например, $6 — 2 = 4$, $10 — 6 = 4$, $14 — 10 = 4$, и так далее).

Итак, получаем:

$$a_1 = 2, \quad d = 4.$$

3. Общая формула для $a_n$:

По формуле для арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d.$$

Подставляем значения $a_1 = 2$ и $d = 4$:

$$a_n = 2 + (n-1) \cdot 4 = 2 + 4n — 4 = 4n — 2.$$

4. Рекуррентная формула:

Каждое следующее число можно получить прибавлением 4 к предыдущему:

$$a_1 = 2 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 4.$$

б) Последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5.

1. Выражение чисел, которые при делении на 13 дают остаток 5:

Если число при делении на 13 дает остаток 5, то оно может быть записано в виде:

$$a_n = 13k + 5,$$

где $k \in \mathbb{N}$.

2. Начальный член и разность:

• Начальный элемент $a_1 = 18$, так как первое число, которое при делении на 13 дает остаток 5, это 18 (ведь $18 \div 13 = 1$ с остатком 5).
• Разность последовательности $d = 13$, так как каждое следующее число увеличивается на 13 (например, $18 + 13 = 31$, $31 + 13 = 44$, и так далее).

Итак, получаем:

$$a_1 = 18, \quad d = 13.$$

3. Общая формула для $a_n$:

По формуле для арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d.$$

Подставляем значения $a_1 = 18$ и $d = 13$:

$$a_n = 18 + (n-1) \cdot 13 = 18 + 13n — 13 = 13n + 5.$$

4. Рекуррентная формула:

Каждое следующее число можно получить прибавлением 13 к предыдущему:

$$a_1 = 18 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 13.$$

в) Последовательность всех натуральных чисел, которые делятся одновременно на 3 и на 7.

1. Числа, которые делятся на 3 и 7:

Если число делится одновременно на 3 и 7, то оно делится на их наименьшее общее кратное (НОК). НОК для 3 и 7 равен:

$$\text{НОК}(3, 7) = 21.$$

То есть, числа, которые делятся на 3 и на 7, имеют вид:

$$a_n = 21k,$$

где $k \in \mathbb{N}$.

2. Начальный член и разность:

• Начальный элемент $a_1 = 21$, так как первое число, которое делится на 3 и 7, это 21.
• Разность последовательности $d = 21$, так как каждое следующее число увеличивается на 21 (например, $21 + 21 = 42$, $42 + 21 = 63$, и так далее).

Итак, получаем:

$$a_1 = 21, \quad d = 21.$$

3. Общая формула для $a_n$:

По формуле для арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d.$$

Подставляем значения $a_1 = 21$ и $d = 21$:

$$a_n = 21 + (n-1) \cdot 21 = 21 + 21n — 21 = 21n.$$

4. Рекуррентная формула:

Каждое следующее число можно получить прибавлением 21 к предыдущему:

$$a_1 = 21 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 21.$$

г) Последовательность всех четных натуральных чисел, которые делятся одновременно на 3 и на 5.

1. Числа, которые делятся на 3 и 5:

Числа, которые делятся одновременно на 3 и на 5, делятся на их наименьшее общее кратное (НОК). НОК для 3 и 5 равен:

$$\text{НОК}(3, 5) = 15.$$

Таким образом, числа, которые делятся на 3 и 5, имеют вид:

$$a_n = 15k.$$

2. Четные числа:

Нам нужно найти четные числа среди чисел, делящихся на 15. Четное число, которое делится на 15, должно быть кратно $15 \times 2 = 30$. То есть, такие числа имеют вид:

$$a_n = 30k.$$

3. Начальный член и разность:

• Начальный элемент $a_1 = 30$, так как первое четное число, которое делится на 3 и на 5, это 30.
• Разность последовательности $d = 30$, так как каждое следующее число увеличивается на 30 (например, $30 + 30 = 60$, $60 + 30 = 90$, и так далее).

Итак, получаем:

$$a_1 = 30, \quad d = 30.$$

4. Общая формула для $a_n$:

По формуле для арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d.$$

Подставляем значения $a_1 = 30$ и $d = 30$:

$$a_n = 30 + (n-1) \cdot 30 = 30 + 30n — 30 = 30n.$$

5. Рекуррентная формула:

Каждое следующее число можно получить прибавлением 30 к предыдущему:

$$a_1 = 30 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 30.$$