ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

a) 3, 9, 27, 81, 243,…;

б) 9, 16, 25, 36, 49,…;

в) 1, 8, 27, 64, 125, … ;

г) 2, 9, 28, 65, 126, … .

а) 3; 9; 27; 81; 243; …;

$b_1=3$ и $q=\frac{9}{3}=3$;

$b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$;

Ответ: $b_n=3^n$.

б) 9; 16; 25; 36; 49; …;

$a_1=3^2$;

$a_2=4^2$;

$a_3=5^2$;

$a_4=6^2$;

$a_5=7^2$;

Ответ: $a_n=n^2$.

в) 1; 8; 27; 64; 125; …;

$a_1=1^3$;

$a_2=2^3$;

$a_3=3^3$;

$a_4=4^3$;

$a_5=5^3$;

Ответ: $a_n=n^3$.

г) 2; 9; 28; 65; 126; …;

$a_1=1^3+1$;

$a_2=2^3+1$;

$a_3=3^3+1$;

$a_4=4^3+1$;

$a_5=5^3+1$;

Ответ: $a_n=n^3+1$.

а) 3; 9; 27; 81; 243; …

Определение типа последовательности:
Мы видим, что члены последовательности увеличиваются в несколько раз. Для того, чтобы убедиться, что это геометрическая прогрессия, нужно найти отношение между соседними членами последовательности. Рассмотрим два первых члена:$$q=\frac{9}{3}=3$$Видим, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3. То есть, последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=3$ и знаменателем $q=3$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:
Для геометрической прогрессии формула для $n$-го члена выглядит так:$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$Подставим известные значения: $b_1=3$ и $q=3$:$$b_n=3\cdot 3^{n-1}$$Упростим:$$b_n=3^n$$

Ответ:$$b_n=3^n$$

б) 9; 16; 25; 36; 49; …

Определение типа последовательности:
Обратим внимание на каждый элемент последовательности. Члены последовательности — это квадратные числа, то есть:$$a_1=3^2=9,a_2=4^2=16,a_3=5^2=25,a_4=6^2=36,a_5=7^2=49$$Таким образом, каждый член последовательности является квадратом целого числа, начиная с 3.

Формула для $n$-го члена:
Поскольку каждый элемент — это квадрат числа, начинающегося с 3, можно записать, что $a_n$ — это квадрат числа, равного $n+2$:$$a_n=(n+2{)}^2$$Где $n$ — порядковый номер члена последовательности.

Ответ:$$a_n=(n+2{)}^2$$

в) 1; 8; 27; 64; 125; …

Определение типа последовательности:
Мы видим, что каждый элемент последовательности является кубом целого числа:$$a_1=1^3=1,a_2=2^3=8,a_3=3^3=27,a_4=4^3=64,a_5=5^3=125$$Все члены последовательности — это кубы натуральных чисел.

Формула для $n$-го члена:
Следовательно, каждый элемент последовательности равен $n^3$, где $n$ — порядковый номер члена:$$a_n=n^3$$

Ответ:$$a_n=n^3$$

г) 2; 9; 28; 65; 126; …

Определение типа последовательности:
Для понимания закономерности посмотрим на разницу между последовательными членами:$$9-2=7,28-9=19,65-28=37,126-65=61$$Разности между членами не постоянны, но растут с каждым шагом. Попробуем найти закономерность. Посмотрим на разницу разностей:$$19-7=12,37-19=18,61-37=24$$Разности второго порядка равномерно увеличиваются на 6. Это указывает на то, что последовательность представляет собой нечто более сложное, возможно, выражение вида $n^3+1$.

Предположение о выражении для $n$-го члена:
Попробуем выразить члены последовательности как $n^3+1$:$$a_1=1^3+1=2,a_2=2^3+1=9,a_3=3^3+1=28,$$

$$a_4=4^3+1=65,a_5=5^3+1=126$$Убедились, что это подходит для всех членов последовательности.

Формула для $n$-го члена:
Следовательно, общий вид формулы для $n$-го члена последовательности:$$a_n=n^3+1$$

Ответ:$$a_n=n^3+1$$

Итоговые ответы:

а) $b_n=3^n$

б) $a_n=(n+2{)}^2$

в) $a_n=n^3$

г) $a_n=n^3+1$