ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$;

б) $\frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; \frac{9}{10}; \frac{11}{12}; \ldots$;

в) $\frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \ldots$;

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}; \frac{1}{5 \cdot 7}; \frac{1}{7 \cdot 9}; \frac{1}{9 \cdot 11}; \frac{1}{11 \cdot 13}; \ldots$

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$;

$$a_1 = \frac{1}{2^0};$$ $$a_2 = \frac{1}{2^1};$$ $$a_3 = \frac{1}{2^2};$$ $$a_4 = \frac{1}{2^3};$$ $$a_5 = \frac{1}{2^4};$$

Ответ: $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.

б) $\frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; \frac{9}{10}; \frac{11}{12}; \ldots$;

$$a_1 = \frac{2+1}{2+2};$$ $$a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 2 + 2};$$ $$a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{2 \cdot 3 + 2};$$ $$a_4 = \frac{2 \cdot 4 + 1}{2 \cdot 4 + 2};$$ $$a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{2 \cdot 5 + 2};$$

Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$.

в) $\frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \ldots$;

$$a_1 = \frac{1}{1^3};$$ $$a_2 = \frac{1}{2^3};$$ $$a_3 = \frac{1}{3^3};$$ $$a_4 = \frac{1}{4^3};$$ $$a_5 = \frac{1}{5^3};$$

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$.

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}; \frac{1}{5 \cdot 7}; \frac{1}{7 \cdot 9}; \frac{1}{9 \cdot 11}; \frac{1}{11 \cdot 13}; \ldots$;

$$a_1 = \frac{1}{(2+1)(2+3)};$$ $$a_2 = \frac{1}{(2 \cdot 2 + 1)(2 \cdot 2 + 3)};$$ $$a_3 = \frac{1}{(2 \cdot 3 + 1)(2 \cdot 3 + 3)};$$ $$a_4 = \frac{1}{(2 \cdot 4 + 1)(2 \cdot 4 + 3)};$$ $$a_5 = \frac{1}{(2 \cdot 5 + 1)(2 \cdot 5 + 3)};$$

Ответ: $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$.

а) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$

Определение типа последовательности:
Мы видим, что каждый следующий элемент последовательности получается путём деления предыдущего на 2. Следовательно, последовательность является геометрической прогрессией.

Для геометрической прогрессии необходимо найти первый член и знаменатель прогрессии.

• Первый член: $a_1 = 1$.
• Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, взяв отношение второго члена к первому:

  $$q = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$$

Запись элементов последовательности:
Посмотрим на первые несколько членов последовательности:

• $a_1 = 1$
• $a_2 = \frac{1}{2}$
• $a_3 = \frac{1}{4}$
• $a_4 = \frac{1}{8}$
• $a_5 = \frac{1}{16}$

Это соответствует следующему виду:

$$a_1 = \frac{1}{2^0}, \quad a_2 = \frac{1}{2^1}, \quad a_3 = \frac{1}{2^2}, \quad a_4 = \frac{1}{2^3}, \quad a_5 = \frac{1}{2^4}$$

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:
Для геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$ формула для $n$-го члена имеет вид:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}}$$

Ответ:

$$a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$$

б) $\frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; \frac{9}{10}; \frac{11}{12}; \ldots$

Определение типа последовательности:
Посмотрим на числители и знаменатели членов последовательности:

• Числители: $3, 5, 7, 9, 11, \dots$, то есть это последовательность нечётных чисел.
• Знаменатели: $4, 6, 8, 10, 12, \dots$, то есть последовательность чётных чисел.

Запись элементов последовательности:
Рассмотрим несколько первых членов:

$$a_1=\frac{2+1}{2+2},a_2=\frac{2\cdot 2+1}{2\cdot 2+2},a_3=\frac{2\cdot 3+1}{2\cdot 3+2},$$

$$a_1 = \frac{2+1}{2+2}, \quad a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 2 + 2}, \quad a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{2 \cdot 3 + 2}, \quad a_4 = \frac{2 \cdot 4 + 1}{2 \cdot 4 + 2}, \quad a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{2 \cdot 5 + 2}$$

Общая формула для $n$-го члена:
Из вышеуказанных примеров видно, что числитель и знаменатель каждого члена следуют определённому правилу:

$$a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$$

Ответ:

$$a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$$

в) $\frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \ldots$

Определение типа последовательности:
Члены последовательности — это дроби, числители которых равны 1, а знаменатели — кубы натуральных чисел:

$$a_1 = \frac{1}{1^3}, \quad a_2 = \frac{1}{2^3}, \quad a_3 = \frac{1}{3^3}, \quad a_4 = \frac{1}{4^3}, \quad a_5 = \frac{1}{5^3}$$

Запись элементов последовательности:
Мы видим, что знаменатели — это последовательность кубов натуральных чисел. То есть:

$$a_1 = \frac{1}{1^3}, \quad a_2 = \frac{1}{2^3}, \quad a_3 = \frac{1}{3^3}, \quad a_4 = \frac{1}{4^3}, \quad a_5 = \frac{1}{5^3}$$

Общая формула для $n$-го члена:
Из вышеуказанных примеров мы видим, что общий вид формулы для $n$-го члена — это обратная величина куба числа $n$:

$$a_n = \frac{1}{n^3}$$

Ответ:

$$a_n = \frac{1}{n^3}$$

г) $\frac{1}{3 \cdot 5}; \frac{1}{5 \cdot 7}; \frac{1}{7 \cdot 9}; \frac{1}{9 \cdot 11}; \frac{1}{11 \cdot 13}; \ldots$

Определение типа последовательности:
Посмотрим на числители и знаменатели членов последовательности:

• Числители: всегда 1.
• Знаменатели: произведения двух последовательных нечётных чисел.

Запись элементов последовательности:
Рассмотрим первые несколько членов:

$$a_1=\frac{1}{(2+1)(2+3)},a_2=\frac{1}{(2\cdot 2+1)(2\cdot 2+3)},a_3=\frac{1}{(2\cdot 3+1)(2\cdot 3+3)},$$

$$a_1 = \frac{1}{(2+1)(2+3)}, \quad a_2 = \frac{1}{(2 \cdot 2 + 1)(2 \cdot 2 + 3)}, \quad a_3 = \frac{1}{(2 \cdot 3 + 1)(2 \cdot 3 + 3)}, \quad a_4 = \frac{1}{(2 \cdot 4 + 1)(2 \cdot 4 + 3)}, \quad a_5 = \frac{1}{(2 \cdot 5 + 1)(2 \cdot 5 + 3)}$$

Общая формула для $n$-го члена:
В каждом члене последовательности знаменатель представляет собой произведение двух последовательных нечётных чисел. Это можно выразить через $n$ следующим образом:

$$a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$$

Ответ:

$$a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$$

Итоговые ответы:

а) $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$

б) $a_n = \frac{2n+1}{2n+2}$

в) $a_n = \frac{1}{n^3}$

г) $a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$