ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:

а)

$$\frac{3}{4}; \frac{9}{16}; \frac{27}{64}; \frac{81}{256}; \frac{243}{1024}; \ldots;$$ $${}_{}$$б)

$$\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2\sqrt{2}}; \frac{7}{4\sqrt{2}}; \ldots;$$ $${}_{}$$в)

$$\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}; -\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}; \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}; -\frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}; \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}; \ldots;$$ $${}_{}$$г)

$$\frac{4}{1\cdot 2\cdot 3};-\frac{9}{2\cdot 3\cdot 4};\frac{14}{3\cdot 4\cdot 5};-\frac{19}{4\cdot 5\cdot 6};\frac{24}{5\cdot 6\cdot 7};\dots$$

а)

$$\frac{3}{4}; \frac{9}{16}; \frac{27}{64}; \frac{81}{256}; \frac{243}{1024}; \ldots;$$ $$a_1 = \frac{3^1}{2^2};$$ $$a_2 = \frac{3^2}{2^4};$$ $$a_3 = \frac{3^3}{2^6};$$ $$a_4 = \frac{3^4}{2^8};$$ $$a_5 = \frac{3^5}{2^{10}};$$

Ответ: $a_n = \frac{3^n}{2^{2n}}$.

б)

$$\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2\sqrt{2}}; \frac{7}{4\sqrt{2}}; \ldots;$$ $$a_1 = \frac{2-1}{(\sqrt{2})^1};$$ $$a_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{(\sqrt{2})^2};$$ $$a_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{(\sqrt{2})^3};$$ $$a_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{(\sqrt{2})^4};$$ $$a_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{(\sqrt{2})^5};$$

Ответ: $a_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$.

в)

$$\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}; -\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}; \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}; -\frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}; \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}; \ldots;$$ $$a_1 = (-1)^2 \cdot \frac{1^2}{\sqrt{1 \cdot (1+1)}};$$ $$a_2 = (-1)^3 \cdot \frac{2^2}{\sqrt{2 \cdot (2+1)}};$$ $$a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{3^2}{\sqrt{3 \cdot (3+1)}};$$ $$a_4 = (-1)^5 \cdot \frac{4^2}{\sqrt{4 \cdot (4+1)}};$$ $$a_5 = (-1)^6 \cdot \frac{5^2}{\sqrt{5 \cdot (5+1)}};$$

Ответ: $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$.

г)

$$\frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}; -\frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}; \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}; -\frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}; \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}; \ldots;$$ $$a_1 = (-1)^2 \cdot \frac{5-1}{1 \cdot (1+1) \cdot (1+2)};$$ $$a_2 = (-1)^3 \cdot \frac{5 \cdot 2 — 1}{2 \cdot (2+1) \cdot (2+2)};$$ $$a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{5 \cdot 3 — 1}{3 \cdot (3+1) \cdot (3+2)};$$ $$a_4 = (-1)^5 \cdot \frac{5 \cdot 4 — 1}{4 \cdot (4+1) \cdot (4+2)};$$ $$a_5 = (-1)^5 \cdot \frac{5 \cdot 5 — 1}{5 \cdot (5+1) \cdot (5+2)};$$

Ответ: $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (5n-1)}{n(n+1)(n+2)}$.

а)

Последовательность:

$$\frac{3}{4}; \frac{9}{16}; \frac{27}{64}; \frac{81}{256}; \frac{243}{1024}; \ldots;$$

1. Определение типа последовательности:

Каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего тем, что числитель и знаменатель увеличиваются по степеням числа 3 и 2 соответственно. То есть:

• Числитель: $3, 9, 27, 81, 243, \dots$, это последовательность чисел, возведённых в степени 3: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \dots$.
• Знаменатель: $4, 16, 64, 256, 1024, \dots$, это последовательность чисел, возведённых в степени 2: $2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10}, \dots$.

2. Запись элементов последовательности:

Рассмотрим первые пять элементов:

$$a_1 = \frac{3^1}{2^2}, \quad a_2 = \frac{3^2}{2^4}, \quad a_3 = \frac{3^3}{2^6}, \quad a_4 = \frac{3^4}{2^8}, \quad a_5 = \frac{3^5}{2^{10}}.$$

3. Общая формула для $n$-го члена:

Каждый элемент последовательности можно записать в виде:

$$a_n = \frac{3^n}{2^{2n}}.$$

4. Ответ:

$$a_n = \frac{3^n}{2^{2n}}.$$

б)

Последовательность:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2\sqrt{2}}; \frac{7}{4\sqrt{2}}; \ldots;$$

1. Определение типа последовательности:

В числителях члены последовательности увеличиваются на 2: $1, 3, 5, 7, \dots$, то есть это последовательность нечётных чисел. В знаменателях члены последовательности включают степень числа $\sqrt{2}$: $\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}^3, \sqrt{2}^4, \dots$.

2. Запись элементов последовательности:

Рассмотрим первые пять элементов:

$$a_1=\frac{2-1}{(\sqrt{2}{)}^1},a_2=\frac{2\cdot 2-1}{(\sqrt{2}{)}^2},a_3=\frac{2\cdot 3-1}{(\sqrt{2}{)}^3},$$

$$a_1 = \frac{2-1}{(\sqrt{2})^1}, \quad a_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{(\sqrt{2})^2}, \quad a_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{(\sqrt{2})^3}, \quad a_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{(\sqrt{2})^4}, \quad a_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{(\sqrt{2})^5}.$$

3. Общая формула для $n$-го члена:

Из примеров видно, что числитель каждого члена имеет вид $2n — 1$, а знаменатель — $(\sqrt{2})^n$. Таким образом, общая формула для $n$-го члена будет:

$$a_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}.$$

4. Ответ:

$$a_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}.$$

в)

Последовательность:

$$\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}; -\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 3}}; \frac{9}{\sqrt{3 \cdot 4}}; -\frac{16}{\sqrt{4 \cdot 5}}; \frac{25}{\sqrt{5 \cdot 6}}; \ldots;$$

1. Определение типа последовательности:

Посмотрим на числители и знаменатели:

• Числители: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$, это квадраты натуральных чисел: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$.
• Знаменатели: $\sqrt{1 \cdot 2}, \sqrt{2 \cdot 3}, \sqrt{3 \cdot 4}, \sqrt{4 \cdot 5}, \sqrt{5 \cdot 6}, \dots$, это корни произведений последовательных чисел.

Кроме того, знаки членов последовательности чередуются, что означает, что каждый нечётный элемент имеет положительный знак, а чётный — отрицательный.

2. Запись элементов последовательности:

Рассмотрим первые пять элементов:

$$a_1=(-1{)}^2\cdot \frac{1^2}{\sqrt{1\cdot (1+1)}},a_2=(-1{)}^3\cdot \frac{2^2}{\sqrt{2\cdot (2+1)}},a_3=(-1{)}^4\cdot \frac{3^2}{\sqrt{3\cdot (3+1)}},$$

$$a_1 = (-1)^2 \cdot \frac{1^2}{\sqrt{1 \cdot (1+1)}}, \quad a_2 = (-1)^3 \cdot \frac{2^2}{\sqrt{2 \cdot (2+1)}}, \quad a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{3^2}{\sqrt{3 \cdot (3+1)}}, \quad a_4 = (-1)^5 \cdot \frac{4^2}{\sqrt{4 \cdot (4+1)}}, \quad a_5 = (-1)^6 \cdot \frac{5^2}{\sqrt{5 \cdot (5+1)}}.$$

3. Общая формула для $n$-го члена:

Общий вид для $n$-го члена: знак зависит от $n$ и выражается через $(-1)^{n+1}$, числитель — это квадрат числа $n$, а знаменатель — это корень произведения $n$ и $n+1$. Таким образом, формула для $n$-го члена:

$$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n^2}{\sqrt{n(n+1)}}.$$

4. Ответ:

$$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n^2}{\sqrt{n(n+1)}}.$$

г)

Последовательность:

$$\frac{4}{1 \cdot 2 \cdot 3}; -\frac{9}{2 \cdot 3 \cdot 4}; \frac{14}{3 \cdot 4 \cdot 5}; -\frac{19}{4 \cdot 5 \cdot 6}; \frac{24}{5 \cdot 6 \cdot 7}; \ldots;$$

1. Определение типа последовательности:

Посмотрим на числители и знаменатели:

• Числители: $4, 9, 14, 19, 24, \dots$, это последовательность, где каждый следующий элемент увеличивается на 5, начиная с 4. То есть это выражение $5n — 1$, где $n$ — порядковый номер члена.
• Знаменатели: это произведения трёх последовательных чисел: $1 \cdot 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 4, 3 \cdot 4 \cdot 5, \dots$, то есть для каждого $n$ знаменатель будет $n(n+1)(n+2)$.

Кроме того, члены последовательности чередуют знаки: отрицательный знак появляется на чётных номерах.

2. Запись элементов последовательности:

Рассмотрим первые пять элементов:

$$a_1=(-1{)}^2\cdot \frac{5-1}{1\cdot (1+1)\cdot (1+2)},a_2=(-1{)}^3\cdot \frac{5\cdot 2-1}{2\cdot (2+1)\cdot (2+2)},$$

$$a_3=(-1{)}^4\cdot \frac{5\cdot 3-1}{3\cdot (3+1)\cdot (3+2)},a_4=(-1{)}^5\cdot \frac{5\cdot 4-1}{4\cdot (4+1)\cdot (4+2)},$$

$$a_1 = (-1)^2 \cdot \frac{5-1}{1 \cdot (1+1) \cdot (1+2)}, \quad a_2 = (-1)^3 \cdot \frac{5 \cdot 2 — 1}{2 \cdot (2+1) \cdot (2+2)}, \quad a_3 = (-1)^4 \cdot \frac{5 \cdot 3 — 1}{3 \cdot (3+1) \cdot (3+2)}, \quad a_4 = (-1)^5 \cdot \frac{5 \cdot 4 — 1}{4 \cdot (4+1) \cdot (4+2)}, \quad a_5 = (-1)^5 \cdot \frac{5 \cdot 5 — 1}{5 \cdot (5+1) \cdot (5+2)}.$$

3. Общая формула для $n$-го члена:

Общий вид для $n$-го члена: знак зависит от $n$, числитель — это $5n — 1$, а знаменатель — произведение трёх последовательных чисел $n(n+1)(n+2)$. Формула для $n$-го члена будет:

$$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (5n-1)}{n(n+1)(n+2)}.$$

4. Ответ:

$$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (5n-1)}{n(n+1)(n+2)}.$$

Итоговые ответы:

а) $a_n = \frac{3^n}{2^{2n}}$

б) $a_n = \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n}$

в) $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$

г) $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot (5n-1)}{n(n+1)(n+2)}$