ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов.

a) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.

в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата?

г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

а)

Сторона квадрата равна квадратному корню из его площади, значит последовательность, составленная из периметров квадратов, также является геометрической прогрессией, в которой:

$$P_1 = 4 \cdot 1 = 4 \quad \text{и} \quad q = \sqrt{2};$$ $$P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1};$$

Первые пять членов последовательности:

$$P_2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{2-1} = 4\sqrt{2};$$ $$P_3 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{3-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8;$$ $$P_4 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{4-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^3 = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2};$$ $$P_5 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{5-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 4 \cdot 4 = 16;$$

Ответ: $4(\sqrt{2})^{n-1}; \, 4; \, 4\sqrt{2}; \, 8; \, 8\sqrt{2}; \, 16$.

б)

Квадраты являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

Сторона первого квадрата равна 1 см, значит его площадь и диагональ составляют соответственно:

$$S_1 = 1^2 = 1 \, \text{см}^2;$$ $$d_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \, \text{см};$$

Стороны второго квадрата равны диагоналям первого, значит его площадь составляет:

$$S_2 = (\sqrt{2})^2 = 2 = 2S_1;$$

Диагонали третьего квадрата равны удвоенным сторонам второго (как основания треугольников и средние линии), значит площадь этого квадрата равна:

$$S_3 = (2 \cdot \sqrt{2})^2 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 = 2S_2;$$

Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$S_1 = 1 \quad \text{и} \quad q = 2;$$ $$S_n = S_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1};$$

Первые пять членов последовательности:

$$S_2 = 2^{2-1} = 2;$$ $$S_3 = 2^{3-1} = 2^2 = 4;$$ $$S_4 = 2^{4-1} = 2^3 = 8;$$ $$S_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16;$$

Ответ: $2^{n-1}; \, 1; \, 2; \, 4; \, 8; \, 16$.

в)

Длина стороны одиннадцатого квадрата:

$$a_{11} = \frac{P_{11}}{4} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^{11-1}}{4} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32 \, \text{см};$$

г)

Площадь семнадцатого квадрата:

$$S_{17} = 2^{17-1} = 2^{16} = 65 \, 536 \, \text{см}^2;$$

а)

Сторона квадрата равна квадратному корню из его площади, значит последовательность, составленная из периметров квадратов, также является геометрической прогрессией, в которой:

• Периметр квадрата равен четырем его сторонам, то есть:

  $$P_1 = 4 \cdot a_1 = 4 \cdot 1 = 4$$

• Площадь каждого последующего квадрата удваивается, а сторона квадрата — это квадратный корень из площади, следовательно, периметр второго квадрата можно выразить через сторону $a_2 = \sqrt{2}$ второго квадрата:

  $$P_2 = 4 \cdot a_2 = 4 \cdot \sqrt{2}$$

• Геометрическая прогрессия с первым членом $P_1 = 4$ и знаменателем $q = \sqrt{2}$, даёт:

  $$P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}$$

Первые пять членов последовательности:

• $P_2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{2-1} = 4\sqrt{2}$
• $P_3 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{3-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$
• $P_4 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{4-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^3 = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
• $P_5 = 4 \cdot (\sqrt{2})^{5-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^4 = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: $4(\sqrt{2})^{n-1}; \, 4; \, 4\sqrt{2}; \, 8; \, 8\sqrt{2}; \, 16$.

б)

1) Квадраты являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

• Квадрат — это частный случай параллелограмма, в котором все стороны равны, а углы прямые. Площадь квадрата можно выразить через его диагонали. В общем случае для параллелограмма площадь равна половине произведения диагоналей:

  $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

  где $d_1$ и $d_2$ — диагонали параллелограмма. Для квадрата $d_1 = d_2$, следовательно, его площадь равна половине произведения диагоналей:

  $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1^2$$

2) Сторона первого квадрата равна 1 см, значит его площадь и диагональ составляют соответственно:

• Сторона первого квадрата $a_1 = 1 \, \text{см}$.
• Площадь первого квадрата $S_1$ равна квадрату его стороны:

  $$S_1 = a_1^2 = 1^2 = 1 \, \text{см}^2$$

• Диагональ квадрата можно вычислить по теореме Пифагора, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого катеты — это стороны квадрата:

  $$d_1 = \sqrt{a_1^2 + a_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \text{см}$$

3) Стороны второго квадрата равны диагоналям первого, значит его площадь составляет:

• Диагональ первого квадрата $d_1 = \sqrt{2} \, \text{см}$ является стороной второго квадрата.
• Площадь второго квадрата $S_2$ равна квадрату его стороны:

  $$S_2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \, \text{см}^2$$

  Также можно заметить, что площадь второго квадрата в два раза больше площади первого:

  $$S_2 = 2 \cdot S_1$$

4) Диагонали третьего квадрата равны удвоенным сторонам второго (как основания треугольников и средние линии), значит площадь этого квадрата равна:

• Стороны третьего квадрата равны удвоенным сторонам второго квадрата:

  $$a_3 = 2 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}$$

• Площадь третьего квадрата $S_3$ равна квадрату его стороны:

  $$S_3 = (2 \cdot \sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{см}^2$$

  Также можно заметить, что площадь третьего квадрата в два раза больше площади второго:

  $$S_3 = 2 \cdot S_2$$

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

• Далее рассуждения аналогичны. Каждая новая фигура имеет площадь в два раза больше предыдущей, так как диагонали каждой фигуры — это удвоенные стороны предыдущей.

6) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

• Площадь каждой последующей фигуры в два раза больше предыдущей. Это дает нам геометрическую прогрессию, где первый член $S_1 = 1$ и знаменатель прогрессии $q = 2$. Общая формула для $n$-го члена:

  $$S_n = S_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$$

7) Первые пять членов последовательности:

• Подставим значения для $n = 2, 3, 4, 5$:
  • $S_2 = 2^{2-1} = 2$
  • $S_3 = 2^{3-1} = 2^2 = 4$
  • $S_4 = 2^{4-1} = 2^3 = 8$
  • $S_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16$

Ответ: $2^{n-1}; \, 1; \, 2; \, 4; \, 8; \, 16$.

в)

Длина стороны одиннадцатого квадрата:

• Периметр одиннадцатого квадрата:

  $$P_{11} = 4 \cdot (\sqrt{2})^{11-1} = 4 \cdot (\sqrt{2})^{10}$$

  Теперь, длина стороны $a_{11}$ равна периметру, делённому на 4:

  $$a_{11} = \frac{P_{11}}{4} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^{10}}{4} = (\sqrt{2})^{10}$$

  Вычисляем $(\sqrt{2})^{10}$:

  $$(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32 \, \text{см}$$

г)

Площадь семнадцатого квадрата:

• Площадь семнадцатого квадрата:

  $$S_{17} = 2^{17-1} = 2^{16} = 65 \, 536 \, \text{см}^2$$

Итоговые ответы:

а) $4(\sqrt{2}{)}^{n-1};4;4\sqrt{2};8;8\sqrt{2};16$

б) $2^{n-1}; \, 1; \, 2; \, 4; \, 8; \, 16$$4(\sqrt{2})^{n-1}; \, 4; \, 4\sqrt{2}; \, 8; \, 8\sqrt{2}; \, 16$

в) Длина стороны 11-го квадрата: $32 \, \text{см}$

г) Площадь 17-го квадрата: $65\,536 \, \text{см}^2$