ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько членов последовательности уn = 2n2 — 7n + 5 принадлежит:

a) отрезку [2; 5];

б) промежутку $(-\mathrm{\infty };10)$?

$y_n = 2n^2 — 7n + 5$;

а) Члены последовательности на отрезке $[2; 5]$:

Наименьшее значение:
$2n^2 — 7n + 5 \geq 2;$
$2n^2 — 7n + 3 \geq 0;$
$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25, \text{ тогда:}$
$n_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;$
$(n — 0,5)(n — 3) \geq 0;$
$n \leq 0,5 \quad \text{или} \quad n \geq 3;$

Наибольшее значение:
$2n^2 — 7n + 5 \leq 5;$
$2n^2 — 7n \leq 0;$
$n(2n — 7) \leq 0;$
$0 \leq n \leq 3,5;$

Общим целым решением является: $n = 3$;

Ответ: 1.

б) Члены последовательности на промежутке $(-∞; 10)$:

Наибольшее значение:
$2n^2 — 7n + 5 < 10;$
$2n^2 — 7n — 5 < 0;$
$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 + 40 = 89, \text{ тогда:}$
$n_1 = \frac{7 — \sqrt{89}}{2 \cdot 2} \approx \frac{7 — 9,4}{4} \approx \frac{-2,4}{4} \approx -0,6;$
$n_2 = \frac{7 + \sqrt{89}}{2 \cdot 2} \approx \frac{7 + 9,4}{4} \approx \frac{16,4}{4} \approx 4,1;$
$(n + 0,6)(n — 4,1) < 0;$
$0,6 < n < 4,1;$

Целыми решениями являются: $n = 1, 2, 3, 4$;

Ответ: 4.

Дана последовательность:

$$y_n = 2n^2 — 7n + 5$$

Необходимо найти значения членов последовательности на определённых промежутках.

Часть а) Члены последовательности на отрезке $[2; 5]$

Нам нужно найти минимальное и максимальное значения последовательности на отрезке $[2; 5]$.

Наименьшее значение последовательности на отрезке $[2; 5]$

Найдем, при каких значениях $n$ последовательность $y_n = 2n^2 — 7n + 5$ принимает минимальное значение на отрезке.

Нам нужно решить неравенство:

$$2n^2 — 7n + 5 \geq 2$$

Переносим $2$ на правую сторону:

$$2n^2 — 7n + 5 — 2 \geq 0$$

Упростим:

$$2n^2 — 7n + 3 \geq 0$$

Для решения этого неравенства воспользуемся дискриминантом. Для квадратичного уравнения $2n^2 — 7n + 3 = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$$

Находим корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$n_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$$ $$n_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Таким образом, корни уравнения $2n^2 — 7n + 3 = 0$ — это $n_1 = 0,5$ и $n_2 = 3$.

Переходим к решению неравенства $(n — 0,5)(n — 3) \geq 0$. Это неравенство будет истинно при $n \leq 0,5$ или $n \geq 3$, что можно записать как:

$$n \leq 0,5 \quad \text{или} \quad n \geq 3$$

Однако нас интересует отрезок $[2; 5]$, то есть $n$ должен быть из этого интервала. Таким образом, на отрезке $[2; 5]$ минимальное значение последовательности будет при $n = 3$.

Наибольшее значение последовательности на отрезке $[2; 5]$

Теперь найдем максимальное значение последовательности на отрезке. Для этого решим следующее неравенство:

$$2n^2 — 7n + 5 \leq 5$$

Переносим 5 на правую сторону:

$$2n^2 — 7n \leq 0$$

Факторизуем левую часть:

$$n(2n — 7) \leq 0$$

Теперь решаем неравенство $n(2n — 7) \leq 0$. Это произведение будет отрицательным или нулевым, когда $0 \leq n \leq 3,5$, так как корни этого неравенства — это $n = 0$ и $n = 3,5$.

Таким образом, для отрезка $[2; 5]$ наибольшее значение последовательности будет на правой границе отрезка, то есть при $n = 3$.

Итоговое решение

На отрезке $[2; 5]$ минимальное значение последовательности $y_n$ будет при $n = 3$.

Наибольшее значение последовательности $y_n$ также будет при $n = 3$, так как $n = 3$ является общей точкой для минимального и максимального значений.

Ответ: 1

Часть б) Члены последовательности на промежутке $(-∞; 10)$

Теперь находим значения членов последовательности на промежутке $(-∞; 10)$.

Наибольшее значение на промежутке $(-∞; 10)$

Для этого решим следующее неравенство:

$$2n^2 — 7n + 5 < 10$$

Переносим 10 на правую сторону:

$$2n^2 — 7n — 5 < 0$$

Для решения этого неравенства найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49 + 40 = 89$$

Теперь находим корни квадратного уравнения $2n^2 — 7n — 5 = 0$ с помощью формулы:

$$n_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{89}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — \sqrt{89}}{4}$$ $$n_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{89}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$$

Приближённо:

$$n_1 = \frac{7 — 9,4}{4} \approx \frac{-2,4}{4} = -0,6$$ $$n_2 = \frac{7 + 9,4}{4} \approx \frac{16,4}{4} = 4,1$$

Итак, у нас есть корни $n_1 \approx -0,6$ и $n_2 \approx 4,1$. Теперь решаем неравенство:

$$(n + 0,6)(n — 4,1) < 0$$

Это неравенство истинно, когда $-0,6 < n < 4,1$.

Целые решения

Целыми значениями $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, являются $n = 1, 2, 3, 4$.

Ответ: 4