ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Начиная с какого номера все члены последовательности ($x_n$) будут больше заданного числа А?

а) $x_1 = 0$, $x_{n+1} = x_n + 3$, $A = 28$;

б) $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 7x_n$, $A = 285$

а) $x_1 = 0$, $x_{n+1} = x_n + 3$ и $A = 28$;

$d = 3$, тогда $x_n = 0 + 3(n-1) = 3n — 3$;

$3n — 3 > 28$;

$3n > 31$;

$n > \frac{31}{3}$;

$n > 10\frac{1}{3}$;

Ответ: $n = 11$.

б) $x_1 = 1$, $x_{n+1} = 7x_n$ и $A = 285$;

$x_2 = 7x_1 = 7 \cdot 1 = 7$;

$x_3 = 7x_2 = 7 \cdot 7 = 49$;

$x_4 = 7x_3 = 7 \cdot 49 = 343$;

Ответ: $n = 4$.

Шаг 1: Понимание структуры задачи
У нас есть последовательность $x_n$, которая задается определенной рекуррентной формулой. Заданные условия различны для двух случаев, поэтому разберем их поочередно.

Часть а)

У нас дана последовательность $x_n$, которая определяется рекуррентной формулой:

$$x_1 = 0, \quad x_{n+1} = x_n + 3.$$

Также задано значение $A = 28$, и нам нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены последовательности $x_n$ будут больше 28.

Шаг 2: Понимание последовательности

Посмотрим, как выглядит эта последовательность:

• $x_1 = 0$
• $x_2 = x_1 + 3 = 0 + 3 = 3$
• $x_3 = x_2 + 3 = 3 + 3 = 6$
• $x_4 = x_3 + 3 = 6 + 3 = 9$
• $x_5 = x_4 + 3 = 9 + 3 = 12$
• $x_6 = x_5 + 3 = 12 + 3 = 15$
• $x_7 = x_6 + 3 = 15 + 3 = 18$
• $x_8 = x_7 + 3 = 18 + 3 = 21$
• $x_9 = x_8 + 3 = 21 + 3 = 24$
• $x_{10} = x_9 + 3 = 24 + 3 = 27$
• $x_{11} = x_{10} + 3 = 27 + 3 = 30$

Как видим, последовательность увеличивается на 3, начиная с нуля. Теперь нужно найти, начиная с какого значения $n$, $x_n > 28$.

Шаг 3: Найдем нужное значение $n$

Последовательность растет линейно с шагом 3. Формула для общего члена последовательности:

$$x_n = x_1 + 3(n-1) = 0 + 3(n-1) = 3n — 3.$$

Нам нужно найти минимальное $n$, для которого $x_n > 28$. Решим неравенство:

$$3n — 3 > 28.$$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$$3n > 31.$$

Разделим обе части на 3:

$$n > \frac{31}{3} \approx 10.33.$$

Таким образом, минимальное целое $n$, которое удовлетворяет неравенству, это $n = 11$.

Ответ для части а)

Ответ: $n = 11$, начиная с 11-го члена последовательности все значения будут больше 28.

Часть б)

Вторая последовательность задается рекуррентной формулой:

$$x_1 = 1, \quad x_{n+1} = 7x_n.$$

Задано значение $A = 285$, и нужно найти, начиная с какого номера $n$ все члены последовательности $x_n$ будут больше 285.

Шаг 2: Понимание последовательности

Посмотрим, как выглядит эта последовательность:

• $x_1 = 1$
• $x_2 = 7x_1 = 7 \cdot 1 = 7$
• $x_3 = 7x_2 = 7 \cdot 7 = 49$
• $x_4 = 7x_3 = 7 \cdot 49 = 343$

Как видим, последовательность растет экспоненциально. Теперь нужно найти, начиная с какого $n$ члены последовательности $x_n > 285$.

Шаг 3: Найдем нужное значение $n$

Общий вид последовательности:

$$x_n = x_1 \cdot 7^{n-1} = 1 \cdot 7^{n-1} = 7^{n-1}.$$

Нам нужно найти минимальное $n$, для которого $x_n > 285$. Решим неравенство:

$$7^{n-1} > 285.$$

Для упрощения возьмем логарифм обеих частей неравенства:

$$\log(7^{n-1}) > \log(285).$$

Используем свойство логарифмов $\log(a^b) = b \cdot \log(a)$:

$$(n-1) \cdot \log(7) > \log(285).$$

Подставим значения:

$$\log(7) \approx 0.8451, \quad \log(285) \approx 2.4549.$$

Получаем:

$$(n-1) \cdot 0.8451 > 2.4549.$$

Теперь разделим обе части на 0.8451:

$$n-1 > \frac{2.4549}{0.8451} \approx 2.91.$$

Таким образом, $n-1$ должно быть больше 2.91, и минимальное целое значение $n-1$ равно 3, то есть $n = 4$.

Ответ для части б)

Ответ: $n = 4$, начиная с 4-го члена последовательности все значения будут больше 285.

Общий итог:

• Для первой последовательности $n = 11$.
• Для второй последовательности $n = 4$.