ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько членов последовательности не превосходят 1:

а) $\frac{1}{3125}; \frac{1}{625}; \frac{1}{125}; \ldots$;

б) $\frac{6}{377}; \frac{11}{379}; \frac{16}{381}; \ldots$;

в) $\frac{2}{729}; \frac{2}{243}; \frac{2}{81}; \ldots$;

г) $\frac{2}{219}; \frac{9}{222}; \frac{16}{225}; \ldots$

а) $\frac{1}{3125}; \frac{1}{625}; \frac{1}{125}; \ldots$;

Формула $n$-го члена последовательности:
$b_1 = \frac{1}{3125} \quad \text{и} \quad q = \frac{\frac{1}{625}}{\frac{1}{3125}} = 5;$
$b_n = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n-1} = \frac{5^{n-1}}{5^5};$

Наибольший номер $n$, при котором $b_n \leq 1$:
$\frac{5^{n-1}}{5^5} \leq 1;$
$5^{n-1} \leq 5^5;$
$n — 1 \leq 5;$
$n \leq 6;$

Ответ: 6.

б) $\frac{6}{377}; \frac{11}{379}; \frac{16}{381}; \ldots$;

Формула $n$-го члена последовательности:
$a_1 = \frac{5 + 1}{2 + 375};$
$a_2 = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2 \cdot 2 + 375};$
$a_3 = \frac{5 \cdot 3 + 1}{2 \cdot 3 + 375};$
$a_n = \frac{5n + 1}{2n + 375};$

Наибольший номер $n$, при котором $a_n \leq 1$:
$\frac{5n + 1}{2n + 375} \leq 1;$
$5n + 1 \leq 2n + 375;$
$3n \leq 374;$
$n \leq 124 \frac{2}{3};$

Ответ: 124.

в) $\frac{2}{729}; \frac{2}{243}; \frac{2}{81}; \ldots$;

Формула $n$-го члена последовательности:
$b_1 = \frac{2}{729} \quad \text{и} \quad q = \frac{\frac{2}{243}}{\frac{2}{729}} = 3;$
$b_n = \frac{2}{729} \cdot 3^{n-1} = \frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^6};$

Наибольший номер $n$, при котором $b_n \leq 1$:
$\frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^6} \leq 1;$
$2 \cdot 3^{n-1} \leq 3^6, \quad \text{отсюда } n \leq 6;$

Ответ: 6.

г) $\frac{2}{219}; \frac{9}{222}; \frac{16}{225}; \ldots$;

Формула $n$-го члена последовательности:
$a_1 = \frac{7 — 5}{3 + 216};$
$a_2 = \frac{7 \cdot 2 — 5}{3 \cdot 2 + 216};$
$a_3 = \frac{7 \cdot 3 — 5}{3 \cdot 3 + 216};$
$a_n = \frac{7n — 5}{3n + 216};$

Наибольший номер $n$, при котором $a_n \leq 1$:
$\frac{7n — 5}{3n + 216} \leq 1;$
$7n — 5 \leq 3n + 216;$
$4n \leq 221;$
$n \leq 55 \frac{1}{4};$

Ответ: 55.

а) Последовательность:

$$\frac{1}{3125}; \frac{1}{625}; \frac{1}{125}; \ldots$$

Это геометрическая последовательность, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (здесь это $q = 5$).

Формула $n$-го члена геометрической последовательности:

Формула для $n$-го члена геометрической последовательности имеет вид:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Где:

• $b_1 = \frac{1}{3125}$ — первый член,
• $q = 5$ — знаменатель прогрессии (каждое следующее число получается умножением на 5).

Таким образом, формула для общего члена:

$$b_n = \frac{1}{3125} \cdot 5^{n-1} = \frac{5^{n-1}}{5^5}$$

Найдем, сколько членов последовательности не превосходят 1.

Нам нужно найти такой $n$, при котором $b_n \leq 1$. Подставим формулу для $b_n$:

$$\frac{5^{n-1}}{5^5} \leq 1$$

Умножим обе стороны неравенства на $5^5$:

$$5^{n-1} \leq 5^5$$

Так как основания одинаковые, можно приравнять показатели степени:

$$n-1 \leq 5$$

Решаем для $n$:

$$n \leq 6$$

Таким образом, наибольший номер $n$, при котором $b_n \leq 1$, равен 6. Ответ для этой последовательности: 6 членов.

б) Последовательность:

$$\frac{6}{377}; \frac{11}{379}; \frac{16}{381}; \ldots$$

Это не геометрическая последовательность, так как разница между числителями и знаменателями не постоянна. Это скорее последовательность дробей, где числители и знаменатели изменяются по определенному правилу.

Формула для $n$-го члена последовательности:

Числители: $6, 11, 16, \ldots$ — это арифметическая прогрессия с разностью 5.

Знаменатели: $377, 379, 381, \ldots$ — это арифметическая прогрессия с разностью 2.

Следовательно, для $n$-го члена последовательности имеем:

$$a_n = \frac{5n + 1}{2n + 375}$$

Найдем, сколько членов последовательности не превосходят 1.

Нам нужно решить неравенство $a_n \leq 1$:

$$\frac{5n + 1}{2n + 375} \leq 1$$

Умножим обе стороны на $2n + 375$ (так как оно положительно, знак неравенства не меняется):

$$5n + 1 \leq 2n + 375$$

Упростим неравенство:

$$5n — 2n \leq 375 — 1$$ $$3n \leq 374$$

Решаем для $n$:

$$n \leq \frac{374}{3} = 124 \frac{2}{3}$$

Так как $n$ должно быть целым числом, наибольший целый $n$, при котором $a_n \leq 1$, равен 124. Ответ для этой последовательности: 124 члена.

в) Последовательность:

$$\frac{2}{729}; \frac{2}{243}; \frac{2}{81}; \ldots$$

Это геометрическая последовательность, так как каждый следующий член также получается умножением предыдущего на постоянное число.

Формула $n$-го члена геометрической последовательности:

Здесь:

• $b_1 = \frac{2}{729}$ — первый член,
• $q = 3$ — знаменатель прогрессии.

Формула для общего члена:

$$b_n = \frac{2}{729} \cdot 3^{n-1} = \frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^6}$$

Найдем, сколько членов последовательности не превосходят 1.

Нам нужно решить неравенство $b_n \leq 1$:

$$\frac{2 \cdot 3^{n-1}}{3^6} \leq 1$$

Умножим обе стороны на $3^6$:

$$2 \cdot 3^{n-1} \leq 3^6$$

Разделим обе стороны на 2:

$$3^{n-1} \leq 3^6$$

Поскольку основания одинаковые, приравниваем показатели степени:

$$n-1 \leq 6$$

Решаем для $n$:

$$n \leq 7$$

Ответ для этой последовательности: 6 членов (так как наибольший $n = 6$).

г) Последовательность:

$$\frac{2}{219}; \frac{9}{222}; \frac{16}{225}; \ldots$$

Как и в предыдущем случае, это не геометрическая последовательность.

Формула для $n$-го члена последовательности:

Числители: $2, 9, 16, \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью 7.

Знаменатели: $219, 222, 225, \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью 3.

Формула для $n$-го члена:

$$a_n = \frac{7n — 5}{3n + 216}$$

Найдем, сколько членов последовательности не превосходят 1.

Нам нужно решить неравенство $a_n \leq 1$:

$$\frac{7n — 5}{3n + 216} \leq 1$$

Умножим обе стороны на $3n + 216$:

$$7n — 5 \leq 3n + 216$$

Упростим неравенство:

$$7n — 3n \leq 216 + 5$$ $$4n \leq 221$$

Решаем для $n$:

$$n \leq \frac{221}{4} = 55 \frac{1}{4}$$

Так как $n$ должно быть целым числом, наибольший целый $n$, при котором $a_n \leq 1$, равен 55. Ответ для этой последовательности: 55 членов.

Итоговые ответы:

а) 6 членов.

б) 124 члена.

в) 6 членов.

г) 55 членов.