ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выпишите все отрицательные члены последовательности:

а) $y_n = n^2 — n — 6$;

б) $y_n = -\frac{181}{15 — 7n};$

в) $y_n = n^2 — 6n + 8;$

г) $y_n=\frac{1+2n}{9n-5}$$$

а) $y_n = n^2 — n — 6$;

Номера всех отрицательных членов:

$$n^2 — n — 6 < 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }$$ $$n_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$ $$(n + 2)(n — 3) < 0;$$ $$-2 < n < 3;$$

Значения всех отрицательных членов:

$$y_1 = 1^2 — 1 — 6 = 1 — 7 = -6;$$ $$y_2 = 2^2 — 2 — 6 = 4 — 8 = -4;$$

Ответ: $-6; -4.$

б) $y_n = -\frac{181}{15 — 7n};$

Номера всех отрицательных членов:

$$-\frac{181}{15 — 7n} < 0;$$ $$15 — 7n > 0;$$ $$15 > 7n;$$ $$n < 2\frac{1}{7};$$

Значения всех отрицательных членов:

$$y_1 = -\frac{181}{15 — 7 \cdot 1} = -\frac{181}{8} = -22\frac{5}{8};$$ $$y_2 = -\frac{181}{15 — 7 \cdot 2} = -\frac{181}{15 — 14} = -181;$$

Ответ: $-22\frac{5}{8}; -181.$

в) $y_n = n^2 — 6n + 8;$

Номера всех отрицательных членов:

$$n^2 — 6n + 8 < 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда: }$$ $$n_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;$$ $$(n — 2)(n — 4) < 0;$$ $$2 < n < 4;$$

Значения всех отрицательных членов:

$$y_3 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1;$$

Ответ: $-1.$

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n — 5};$

Номера всех отрицательных членов:

$$\frac{1 + 2n}{9n — 5} < 0;$$ $$(1 + 2n)(9n — 5) < 0;$$ $$-\frac{1}{2} < n < \frac{5}{9};$$

Натуральные значения $n$ — отсутствуют;
Ответ: нет.

а) $y_n = n^2 — n — 6$;

1) Номера всех отрицательных членов:

Нам необходимо найти такие значения $n$, при которых выражение $y_n = n^2 — n — 6$ будет отрицательным. То есть решаем неравенство:

$$n^2 — n — 6 < 0$$

Для этого воспользуемся дискриминантом для решения квадратного неравенства. Сначала приведем уравнение к стандартному виду:

$$n^2 — n — 6 = 0$$

Теперь находим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$. Подставляем в формулу:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), у уравнения есть два корня. Найдем их по формуле:

$$n_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2$$ $$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Теперь получаем два корня: $n_1 = -2$ и $n_2 = 3$. Это означает, что многочлен можно разложить на множители:

$$(n + 2)(n — 3) < 0$$

Теперь определим, при каких значениях $n$ этот продукт меньше нуля. Для этого исследуем знаки произведения на интервалах, разделенных на корнях $n_1 = -2$ и $n_2 = 3$:

• Для $n < -2$: оба множителя $(n + 2)$ и $(n — 3)$ отрицательны, поэтому их произведение положительное.
• Для $-2 < n < 3$: множитель $(n + 2)$ положителен, а $(n — 3)$ отрицателен, их произведение отрицательно.
• Для $n > 3$: оба множителя $(n + 2)$ и $(n — 3)$ положительны, их произведение положительное.

Таким образом, выражение $(n + 2)(n — 3) < 0$ выполняется на интервале:

$$-2 < n < 3$$

2) Значения всех отрицательных членов:

Теперь находим значения функции $y_n = n^2 — n — 6$ для целых $n$ на интервале $-2 < n < 3$. Мы подставим в исходное выражение целые числа $n = 1$ и $n = 2$, так как на этом интервале они могут быть отрицательными.

• Для $n = 1$:

$$y_1 = 1^2 — 1 — 6 = 1 — 1 — 6 = -6$$

• Для $n = 2$:

$$y_2 = 2^2 — 2 — 6 = 4 — 2 — 6 = -4$$

Ответ: $y_1 = -6$, $y_2 = -4$. Итак, отрицательные члены для $y_n$ на интервале $-2 < n < 3$ равны: $-6$ и $-4$.

б) $y_n = -\frac{181}{15 — 7n};$

1) Номера всех отрицательных членов:

Нам нужно найти, при каких значениях $n$ выражение $y_n = -\frac{181}{15 — 7n}$ будет отрицательным. Для этого исследуем неравенство:

$$-\frac{181}{15 — 7n} < 0$$

Поскольку $-181$ отрицательно, знаменатель $15 — 7n$ должен быть положительным, чтобы дробь была отрицательной. Таким образом, мы решаем неравенство для знаменателя:

$$15 — 7n > 0$$ $$15 > 7n$$ $$n < \frac{15}{7} \approx 2.14$$

То есть, выражение будет отрицательным для всех $n$, меньших $2.14$, т.е. для $n < 2\frac{1}{7}$.

2) Значения всех отрицательных членов:

Теперь находим значения функции $y_n = -\frac{181}{15 — 7n}$ для целых значений $n$, удовлетворяющих $n < 2\frac{1}{7}$. Это $n = 1$ и $n = 2$.

• Для $n = 1$:

$$y_1 = -\frac{181}{15 — 7 \cdot 1} = -\frac{181}{15 — 7} = -\frac{181}{8} = -22\frac{5}{8}$$

• Для $n = 2$:

$$y_2 = -\frac{181}{15 — 7 \cdot 2} = -\frac{181}{15 — 14} = -\frac{181}{1} = -181$$

Ответ: $y_1 = -22\frac{5}{8}$, $y_2 = -181$.

в) $y_n = n^2 — 6n + 8;$

1) Номера всех отрицательных членов:

Нам нужно найти, при каких значениях $n$ выражение $y_n = n^2 — 6n + 8$ будет отрицательным. Для этого решим неравенство:

$$n^2 — 6n + 8 < 0$$

Найдем дискриминант для квадратного уравнения $n^2 — 6n + 8 = 0$:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Найдем их:

$$n_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2$$ $$n_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Теперь разложим многочлен:

$$(n — 2)(n — 4) < 0$$

Решаем неравенство, исследуя знаки на интервалах, разделенных на корнях $n_1 = 2$ и $n_2 = 4$:

• Для $n < 2$: оба множителя $(n — 2)$ и $(n — 4)$ отрицательны, произведение положительное.
• Для $2 < n < 4$: множитель $(n — 2)$ положителен, а $(n — 4)$ отрицателен, произведение отрицательное.
• Для $n > 4$: оба множителя $(n — 2)$ и $(n — 4)$ положительны, произведение положительное.

Таким образом, выражение $(n — 2)(n — 4) < 0$ выполняется на интервале:

$$2 < n < 4$$

2) Значения всех отрицательных членов:

Теперь находим значения функции $y_n = n^2 — 6n + 8$ для целых значений $n$ на интервале $2 < n < 4$. Это $n = 3$.

• Для $n = 3$:

$$y_3 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1$$

Ответ: $y_3 = -1$.

г) $y_n = \frac{1 + 2n}{9n — 5};$

1) Номера всех отрицательных членов:

Нам нужно найти, при каких значениях $n$ выражение $y_n = \frac{1 + 2n}{9n — 5}$ будет отрицательным. Для этого решим неравенство:

$$\frac{1 + 2n}{9n — 5} < 0$$

Необходимо, чтобы числитель $1 + 2n$ и знаменатель $9n — 5$ имели противоположные знаки. Это можно выразить как систему неравенств:

$$(1 + 2n) > 0 \quad \text{и} \quad (9n — 5) < 0 \quad \text{или} \quad (1 + 2n) < 0 \quad \text{и} \quad (9n — 5) > 0$$

Решаем эти неравенства:

• $1 + 2n > 0$ даёт $n > -\frac{1}{2}$,
• $9n — 5 < 0$ даёт $n < \frac{5}{9}$.

Таким образом, для числителя и знаменателя противоположных знаков $-\frac{1}{2} < n < \frac{5}{9}$.

2) Натуральные значения $n$ — отсутствуют:

На интервале $-\frac{1}{2} < n < \frac{5}{9}$ нет натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.