ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите число положительных членов последовательности:

а) $y_n = 4n — n^2$;

б) $y_n = \frac{140 — n^2}{6n — 11}$;

в) $y_n = -n^2 + 9n — 14$;

г) $y_n = \frac{123}{147 — 5n}$

а) $y_n = 4n — n^2$;
$4n — n^2 > 0$;
$n(4 — n) > 0$;
$0 < n < 4$;
$n_{\text{min}} = 1$ и $n_{\text{max}} = 3$;
Ответ: 3.

б) $y_n = \frac{140 — n^2}{6n — 11}$;
$\frac{140 — n^2}{6n — 11} > 0$;
$(140 — n^2)(6n — 11) > 0$;
$n < -\sqrt{140}$ или $\frac{11}{6} < n < \sqrt{140}$;
$\frac{5}{6} < n < 11.8$;
$n_{\text{min}} = 2$ и $n_{\text{max}} = 11$;
Ответ: 10.

в) $y_n = -n^2 + 9n — 14$;
$-n^2 + 9n — 14 > 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$, тогда:
$n_1 = \frac{-9 — 5}{-2} = 7$ и $n_2 = \frac{-9 + 5}{-2} = 2$;
$-(n — 2)(n — 7) > 0$;
$2 < n < 7$;
$n_{\text{min}} = 3$ и $n_{\text{max}} = 6$;
Ответ: 4.

г) $y_n = \frac{123}{147 — 5n}$;
$\frac{123}{147 — 5n} > 0$;
$147 — 5n > 0$;
$147 > 5n$;
$n < 29.4$;
$n_{\text{min}} = 1$ и $n_{\text{max}} = 29$;
Ответ: 29.

Задача а)
Рассмотрим выражение для последовательности $y_n = 4n — n^2$.

Требуется найти такие значения $n$, при которых $y_n > 0$. То есть нужно решить неравенство:

$$4n — n^2 > 0$$

Приводим его к стандартному виду:

$$n(4 — n) > 0$$

Это произведение двух множителей. Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны быть либо положительными, либо оба отрицательными.

Для этого решим два неравенства:

• $n > 0$ (первый множитель положительный)
• $4 — n > 0$ или $n < 4$ (второй множитель положительный)

Объединяя оба условия, получаем:

$$0 < n < 4$$

Поскольку $n$ — это целое число, то возможные значения $n$ — это $1, 2, 3$.

Таким образом, минимальное значение $n_{\text{min}} = 1$, максимальное $n_{\text{max}} = 3$.

Ответ: 3.

Задача б)
Рассмотрим выражение для последовательности $y_n = \frac{140 — n^2}{6n — 11}$.

Необходимо найти такие значения $n$, при которых $y_n > 0$. То есть решим неравенство:

$$\frac{140 — n^2}{6n — 11} > 0$$

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.

Начнём с числителя $140 — n^2$:

• $140 — n^2 > 0$
• $n^2 < 140$
• $-\sqrt{140} < n < \sqrt{140}$
• Поскольку $\sqrt{140} \approx 11.83$, получаем интервал $-11.83 < n < 11.83$.

Теперь рассмотрим знаменатель $6n — 11$:

• $6n — 11 > 0$
• $n > \frac{11}{6} \approx 1.833$

Чтобы дробь была положительной, нужно, чтобы оба выражения были либо положительными, либо оба отрицательными.

• Первое условие: $n \in (-\sqrt{140}, \sqrt{140})$, или примерно $n \in (-11.83, 11.83)$
• Второе условие: $n > \frac{11}{6} \approx 1.833$

Для положительного значения дроби оба условия должны быть выполнены, то есть:

$$\frac{11}{6} < n < \sqrt{140}$$

Это интервал $\frac{11}{6} < n < 11.83$.

Округляя границы до целых чисел, получаем $2 \leq n \leq 11$. Следовательно, минимальное значение $n_{\text{min}} = 2$, максимальное $n_{\text{max}} = 11$.

Ответ: 10.

Задача в)
Рассмотрим выражение для последовательности $y_n = -n^2 + 9n — 14$.

Нужно найти такие значения $n$, при которых $y_n > 0$. То есть решим неравенство:

$$-n^2 + 9n — 14 > 0$$

Преобразуем его в стандартную форму:

$$n^2 — 9n + 14 < 0$$

Для решения квадратного неравенства найдем дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$n_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 — 5}{2} = 2$$ $$n_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 5}{2} = 7$$

Таким образом, неравенство имеет вид:

$$(n — 2)(n — 7) < 0$$

Решение этого неравенства будет в интервале между корнями:

$$2 < n < 7$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, то возможные значения $n$ — это $3, 4, 5, 6$.

Таким образом, минимальное значение $n_{\text{min}} = 3$, максимальное $n_{\text{max}} = 6$.

Ответ: 4.

Задача г)
Рассмотрим выражение для последовательности $y_n = \frac{123}{147 — 5n}$.

Нужно найти такие значения $n$, при которых $y_n > 0$. То есть решим неравенство:

$$\frac{123}{147 — 5n} > 0$$

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть положительным, так как числитель всегда положителен (123 > 0).

Условие для знаменателя:

$$147 — 5n > 0$$

Решим это неравенство:

$$147 > 5n$$ $$n < \frac{147}{5} = 29.4$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, получаем, что $n \leq 29$.

Также учитываем, что $n$ должно быть положительным, то есть $n \geq 1$.

Таким образом, возможные значения $n$ — это $1, 2, 3, \dots, 29$.

Следовательно, минимальное значение $n_{\text{min}} = 1$, максимальное $n_{\text{max}} = 29$.

Ответ: 29.