ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьший член последовательности:

а) $y_n=n^2-42n+13$;

б) $y_n=n^2-26n+41$

Обе последовательности заданы уравнением параболы, ветви которой направлены вверх, значит наименьшее значение они принимают в вершине параболы;

а) $y_n=n^2-42n+13$;

$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-42}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$;

$y_{21}={21}^2-42\cdot 21+13=441-882+13=-428$;

Ответ: $-428$.

б) $y_n=n^2-26n+41$;

$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-26}{2\cdot 1}=\frac{26}{2}=13$;

$y_{13}={13}^2-26\cdot 13+41=169-338+41=-128$;

Ответ: $-128$.

Обе последовательности заданы уравнением параболы, ветви которой направлены вверх, значит наименьшее значение они принимают в вершине параболы. Рассмотрим подробное решение для каждой из последовательностей.

Часть (а): $y_n=n^2-42n+13$

Определение коэффициентов:
У нас есть квадратичное уравнение $y_n=n^2-42n+13$, где $a=1$, $b=-42$, $c=13$.

Нахождение вершины параболы:
Для того чтобы найти значение $n$, при котором достигается минимум функции, используем формулу для абсциссы вершины параболы для квадратичной функции $y=a{n}^2+bn+c$:

$$n_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=1$ и $b=-42$:

$$n_{\text{вершина}}=-\frac{-42}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$$

Таким образом, значение $n$, при котором парабола достигает своего минимума, равно $n=21$.

Нахождение минимального значения $y_n$:
Теперь вычислим значение функции $y_n$ при $n=21$. Подставим $n=21$ в исходное уравнение:

$$y_{21}={21}^2-42\cdot 21+13$$

Сначала вычислим ${21}^2$:

$${21}^2=441$$

Затем $42\cdot 21$:

$$42\cdot 21=882$$

Теперь подставим все эти значения в выражение для $y_{21}$:

$$y_{21}=441-882+13$$

Сначала вычислим разность $441-882$:

$$441-882=-441$$

Теперь прибавим 13:

$$-441+13=-428$$

Ответ для части (а): $y_{21}=-428$.

Часть (б): $y_n=n^2-26n+41$

Определение коэффициентов:
Вторая последовательность задана уравнением $y_n=n^2-26n+41$, где $a=1$, $b=-26$, $c=41$.

Нахождение вершины параболы:
Для нахождения значения $n$, при котором парабола достигает минимума, опять воспользуемся той же формулой для абсциссы вершины параболы:

$$n_{\text{вершина}}=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=1$ и $b=-26$:

$$n_{\text{вершина}}=-\frac{-26}{2\cdot 1}=\frac{26}{2}=13$$

Таким образом, значение $n$, при котором парабола достигает своего минимума, равно $n=13$.

Нахождение минимального значения $y_n$:
Теперь вычислим значение функции $y_n$ при $n=13$. Подставим $n=13$ в исходное уравнение:

$$y_{13}={13}^2-26\cdot 13+41$$

Сначала вычислим ${13}^2$:

$${13}^2=169$$

Затем $26\cdot 13$:

$$26\cdot 13=338$$

Теперь подставим все эти значения в выражение для $y_{13}$:

$$y_{13}=169-338+41$$

Сначала вычислим разность $169-338$:

$$169-338=-169$$

Теперь прибавим 41:

$$-169+41=-128$$

Ответ для части (б): $y_{13}=-128$.

Ответ:

а) минимальное значение функции $y_n=n^2-42n+13$ равно $-428$.

б) минимальное значение функции $y_n=n^2-26n+41$ равно $-128$.