ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана последовательность уn = n² — 18n.

a) Установите, сколько в ней отрицательных членов;

б) найдите наименьший член последовательности;

в) укажите номер члена последовательности, который равен 19;

г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-15; 2].

Дана последовательность: $y_n = n^2 — 18n$;

а) Количество отрицательных членов последовательности:

$$n^2 — 18n < 0;$$ $$n(n — 18) < 0;$$ $$0 < n < 18;$$ $$n_{\text{min}} = 1 \quad \text{и} \quad n_{\text{max}} = 17;$$

Ответ: 17.

б) Наименьший член последовательности:

$$a = 1 > 0, \text{значит ветви параболы направлены вверх};$$ $$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9;$$ $$y_9 = 9^2 — 18 \cdot 9 = 81 — 162 = -81;$$

Ответ: $-81$.

в) Номер члена последовательности, равный 19:

$$n^2 — 18n = 19;$$ $$n^2 — 18n — 19 = 0;$$ $$D = 18^2 + 4 \cdot 19 = 324 + 76 = 400, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{18 — 20}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{18 + 20}{2} = 19;$$

Ответ: 19.

г) Количество членов последовательности на отрезке $[-15; 2]$:

Наименьшее значение:

$$n^2 — 18n \geq -15;$$ $$n^2 — 18n + 15 \geq 0;$$ $$D = 18^2 — 4 \cdot 15 = 324 — 60 = 264 = 4 \cdot 66, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{18 — 2\sqrt{66}}{2} = 9 — \sqrt{66} = 9 — 8,1 = 0,9;$$ $$n_2 = \frac{18 + 2\sqrt{66}}{2} = 9 + \sqrt{66} = 9 + 8,1 = 17,1;$$ $$(n — 0,9)(n — 17,1) \geq 0;$$ $$n \leq 0,9 \quad \text{или} \quad n \geq 17,1;$$

Наибольшее значение:

$$n^2 — 18n \leq 2;$$ $$n^2 — 18n — 2 \leq 0;$$ $$D = 18^2 + 4 \cdot 2 = 324 + 8 = 332 = 4 \cdot 83, \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{18 — 2\sqrt{83}}{2} = 9 — \sqrt{83} = 9 — 9,1 = 0,1;$$ $$n_2 = \frac{18 + 2\sqrt{83}}{2} = 9 + \sqrt{83} = 9 + 9,1 = 18,1;$$ $$(n — 0,1)(n — 18,1) \leq 0;$$ $$0,1 \leq n \leq 18,1;$$

Общим решением является: $n = 18$;
Ответ: 1.

Дана последовательность: $y_n = n^2 — 18n$

а) Количество отрицательных членов последовательности:

Необходимо найти количество таких значений $n$, для которых $y_n < 0$. Это эквивалентно решению неравенства:

$$n^2 — 18n < 0.$$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Выносим $n$ за скобки:

$$n(n — 18) < 0.$$

Шаг 2: Решаем неравенство

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Мы можем найти корни соответствующего уравнения $n(n — 18) = 0$, которые дадут нам точки изменения знака:

$$n = 0 \quad \text{и} \quad n = 18.$$

Это разделяет числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 18)$ и $(18, +\infty)$.

Шаг 3: Определяем знак на каждом интервале

1. Для интервала $(-\infty, 0)$ выбираем точку, например $n = -1$:

   $$(-1)(-1 — 18) = (-1)(-19) = 19 > 0.$$

   Знак положительный.

2. Для интервала $(0, 18)$ выбираем точку, например $n = 1$:

   $$(1)(1 — 18) = (1)(-17) = -17 < 0.$$

   Знак отрицательный.

3. Для интервала $(18, +\infty)$ выбираем точку, например $n = 19$:

   $$(19)(19 — 18) = (19)(1) = 19 > 0.$$

   Знак положительный.

Шаг 4: Результат

Нас интересуют значения $n$, для которых выражение $n(n — 18) < 0$, то есть на интервале $(0, 18)$. Таким образом, решение неравенства:

$$0 < n < 18.$$

Шаг 5: Количество отрицательных членов

Так как $n$ целое число, то возможные значения $n$ — это все числа от 1 до 17, включая 1 и 17. Таким образом, количество таких членов равно 17.

Ответ: 17.

б) Наименьший член последовательности:

Нам нужно найти наименьший элемент последовательности $y_n = n^2 — 18n$. Так как это квадратная функция, найдем её минимальное значение.

Шаг 1: Определяем вид функции

Функция $y_n = n^2 — 18n$ является квадратичной функцией от $n$. Она имеет вид $y_n = a n^2 + b n + c$, где $a = 1$, $b = -18$ и $c = 0$.

Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет минимум.

Шаг 2: Находим координаты вершины параболы

Координата вершины параболы $n_{\text{min}}$ находится по формуле:

$$n_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9.$$

Шаг 3: Находим значение функции в вершине

Подставим $n = 9$ в выражение для $y_n$:

$$y_9 = 9^2 — 18 \cdot 9 = 81 — 162 = -81.$$

Ответ: -81.

в) Номер члена последовательности, равного 19:

Необходимо найти значение $n$, для которого $y_n = 19$. Это эквивалентно решению уравнения:

$$n^2 — 18n = 19.$$

Шаг 1: Переносим все на одну сторону

Переносим 19 в левую часть уравнения:

$$n^2 — 18n — 19 = 0.$$

Шаг 2: Находим дискриминант

Для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -18$ и $c = -19$:

$$D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 324 + 76 = 400.$$

Шаг 3: Находим корни уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -18$, $D = 400$, $a = 1$:

$$n_1 = \frac{-(-18) — \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{18 — 20}{2} = \frac{-2}{2} = -1,$$ $$n_2 = \frac{-(-18) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 20}{2} = \frac{38}{2} = 19.$$

Ответ: 19.

г) Количество членов последовательности на отрезке $[-15; 2]$:

Нужно найти количество значений $n$, для которых последовательность $y_n = n^2 — 18n$ лежит на отрезке $[-15; 2]$.

Шаг 1: Находим наименьшее значение

Решаем неравенство:

$$n^2 — 18n \geq -15.$$

Переносим $-15$ в правую часть:

$$n^2 — 18n + 15 \geq 0.$$

Находим дискриминант для уравнения $n^2 — 18n + 15 = 0$:

$$D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 324 — 60 = 264.$$

Корни уравнения:

$$n_1 = \frac{18 — \sqrt{264}}{2} = 9 — \sqrt{66} \approx 9 — 8.1 = 0.9,$$ $$n_2 = \frac{18 + \sqrt{264}}{2} = 9 + \sqrt{66} \approx 9 + 8.1 = 17.1.$$

Решение неравенства:

$$(n — 0.9)(n — 17.1) \geq 0.$$

Получаем два интервала: $n \leq 0.9$ или $n \geq 17.1$.

Шаг 2: Находим наибольшее значение

Решаем неравенство:

$$n^2 — 18n \leq 2.$$

Переносим 2 в правую часть:

$$n^2 — 18n — 2 \leq 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 324 + 8 = 332.$$

Корни уравнения:

$$n_1 = \frac{18 — \sqrt{332}}{2} = 9 — \sqrt{83} \approx 9 — 9.1 = 0.1,$$ $$n_2 = \frac{18 + \sqrt{332}}{2} = 9 + \sqrt{83} \approx 9 + 9.1 = 18.1.$$

Решение неравенства:

$$(n — 0.1)(n — 18.1) \leq 0.$$

Получаем интервал: $0.1 \leq n \leq 18.1$.

Шаг 3: Общее решение

Общее решение системы неравенств:

$$n \leq 0.9 \quad \text{или} \quad n \geq 17.1.$$

Площадь пересечения с отрезком $[-15, 2]$ даёт $n = 1$.

Ответ: 1.