ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьший член последовательности:

а) $y_n = 3n^2 — 10n + 3$;

б) $y_n = -\frac{3}{2n — 5};$

в) $y_n = 2n^2 — 7n + 3;$

г) $y_n=-\frac{4}{n+4}$

Две последовательности заданы уравнением параболы, ветви которой направлены вверх, значит наименьшее значение они принимают в вершине параболы;

Две последовательности заданы уравнением гиперболы, график которой возрастает, значит наименьшее значение они принимают в ближайшей точке, лежащей правее вертикальной асимптоты;

а) $y_n = 3n^2 — 10n + 3$;

$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = 1\frac{4}{6};$

$y_2 = 3 \cdot 2^2 — 10 \cdot 2 + 3 = 12 — 20 + 3 = -5;$

Ответ: $-5$.

б) $y_n = -\frac{3}{2n — 5};$

$2n — 5 = 0$, отсюда $n = 2,5;$

$y_3 = -\frac{3}{2 \cdot 3 — 5} = -\frac{3}{6 — 5} = -3;$

Ответ: $-3$.

в) $y_n = 2n^2 — 7n + 3;$

$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4};$

$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 7 \cdot 2 + 3 = 8 — 14 + 3 = -3;$

Ответ: $-3$.

г) $y_n = -\frac{4}{n + 4};$

$n + 4 = 0$, отсюда $n = -4;$

$y_1 = -\frac{4}{1 + 4} = -\frac{4}{5};$

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

Мы имеем два типа функций:

1. Парабола с ветвями, направленными вверх, для которой наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Это функции вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a > 0$.
2. Гипербола с графиком, который возрастает, для которой наименьшее значение функции достигается в ближайшей точке, лежащей правее вертикальной асимптоты. Это функции вида $y = \frac{A}{Bx + C}$, где вертикальная асимптота определяется нулем знаменателя.

Задача а)

Дано: $y_n = 3n^2 — 10n + 3$.

Это уравнение параболы, так как степень переменной $n$ равна 2, и коэффициент при $n^2$ положительный ($3 > 0$).

Шаг 1: Нахождение вершины параболы

Для параболы вида $y = an^2 + bn + c$ наименьшее значение функции находится в вершине параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле:

$$n = -\frac{b}{2a}$$

где $a = 3$ и $b = -10$. Подставляем значения:

$$n = -\frac{-10}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = 1\frac{4}{6} = \frac{5}{3}$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы находится в точке $n = \frac{5}{3}$.

Шаг 2: Нахождение минимального значения функции

Теперь подставим $n = 2$ в исходную функцию $y_n = 3n^2 — 10n + 3$, так как $y_2$ требует подстановки $n = 2$:

$$y_2 = 3 \cdot 2^2 — 10 \cdot 2 + 3 = 3 \cdot 4 — 20 + 3 = 12 — 20 + 3 = -5$$

Ответ: $-5$.

Задача б)

Дано: $y_n = -\frac{3}{2n — 5}$.

Это уравнение гиперболы, так как функция имеет вид дроби, где в знаменателе находится выражение, зависимое от $n$.

Шаг 1: Нахождение вертикальной асимптоты

Для гиперболы вертикальная асимптота — это значение $n$, при котором знаменатель выражения становится равным нулю. То есть, нам нужно решить:

$$2n — 5 = 0$$

Решаем для $n$:

$$2n = 5 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{5}{2} = 2,5$$

Таким образом, вертикальная асимптота находится при $n = 2,5$.

Шаг 2: Нахождение наименьшего значения функции

Мы должны найти минимальное значение функции в точке, ближайшей к вертикальной асимптоте, но правее её. Для этого подставим $n = 3$ в функцию $y_n = -\frac{3}{2n — 5}$:

$$y_3 = -\frac{3}{2 \cdot 3 — 5} = -\frac{3}{6 — 5} = -\frac{3}{1} = -3$$

Ответ: $-3$.

Задача в)

Дано: $y_n = 2n^2 — 7n + 3$.

Это снова парабола, так как степень переменной $n$ равна 2, и коэффициент при $n^2$ положительный ($2 > 0$).

Шаг 1: Нахождение вершины параболы

Используем формулу для нахождения абсциссы вершины параболы:

$$n = -\frac{b}{2a}$$

где $a = 2$ и $b = -7$. Подставляем значения:

$$n = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы находится в точке $n = \frac{7}{4}$.

Шаг 2: Нахождение минимального значения функции

Теперь подставим $n = 2$ в исходную функцию $y_n = 2n^2 — 7n + 3$, чтобы найти $y_2$:

$$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 7 \cdot 2 + 3 = 2 \cdot 4 — 14 + 3 = 8 — 14 + 3 = -3$$

Ответ: $-3$.

Задача г)

Дано: $y_n = -\frac{4}{n + 4}$.

Это гипербола, так как функция имеет вид дроби с линейным выражением в знаменателе.

Шаг 1: Нахождение вертикальной асимптоты

Найдем вертикальную асимптоту, решив, когда знаменатель равен нулю:

$$n + 4 = 0$$

Решаем для $n$:

$$n = -4$$

Таким образом, вертикальная асимптота находится при $n = -4$.

Шаг 2: Нахождение наименьшего значения функции

Нам нужно найти минимальное значение функции в точке, ближайшей правее вертикальной асимптоты. Подставим $n = 1$ в исходную функцию $y_n = -\frac{4}{n + 4}$:

$$y_1 = -\frac{4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$$

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

Итоговые ответы:

а) $-5$

б) $-3$

в) $-3$

г) $-\frac{4}{5}$