ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольший член последовательности:

а) $y_n = -2n^2 + 11n — 2$;

б) $y_n = \frac{3}{2n — 5};$

в) $y_n = 20 — 12n — 3n^2;$

г) $y_n=\frac{4}{n+4}$

Две последовательности заданы уравнением параболы, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение они принимают в вершине параболы;

Две последовательности заданы уравнением гиперболы, график которой убывает, значит наибольшее значение они принимают в ближайшей точке, лежащей правее вертикальной асимптоты;

а) $y_n = -2n^2 + 11n — 2$;

$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2 \cdot (-2)} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4};$

$y_3 = -2 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 — 2 = -18 + 33 — 2 = 13;$

Ответ: 13.

б) $y_n = \frac{3}{2n — 5};$

$2n — 5 = 0$, отсюда $n = 2,5;$

$y_3 = \frac{3}{2 \cdot 3 — 5} = \frac{3}{6 — 5} = 3;$

Ответ: 3.

в) $y_n = 20 — 12n — 3n^2;$

$n = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{6} = -2;$

$y_1 = 20 — 12 \cdot 1 — 3 \cdot 1^2 = 20 — 12 — 3 = 5;$

Ответ: 5.

г) $y_n = \frac{4}{n + 4}$

$n + 4 = 0$, отсюда $n = -4;$

$y_1 = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5};$

Ответ: $\frac{4}{5}.$

Мы имеем несколько последовательностей, заданных уравнениями. Необходимо найти наибольшее значение для каждой последовательности.

Общие замечания:

• Если последовательность задана параболой, то наибольшее значение последовательности будет на вершине параболы, если ветви направлены вниз.
• Если последовательность задана гиперболой, то наибольшее значение последовательности будет в ближайшей точке, правее вертикальной асимптоты.

Теперь давайте перейдем к решению каждой задачи.

а) $y_n = -2n^2 + 11n — 2$

Это уравнение параболы. Парабола открывается вниз, так как коэффициент при $n^2$ (то есть $-2$) отрицателен. Вершина параболы — это точка, где она достигает наибольшего значения.

Шаг 1: Нахождение координаты вершины параболы.

Для параболы вида $y_n = an^2 + bn + c$ вершина находится в точке:

$$n = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае, $a = -2$, $b = 11$. Подставим эти значения в формулу:

$$n = -\frac{11}{2 \cdot (-2)} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$$

Шаг 2: Нахождение значения функции в точке вершины.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции, подставим $n = 3$ (округляем до ближайшего целого) в исходное уравнение:

$$y_3 = -2 \cdot 3^2 + 11 \cdot 3 — 2$$

Посчитаем поэтапно:

1. $3^2 = 9$
2. $-2 \cdot 9 = -18$
3. $11 \cdot 3 = 33$
4. $-18 + 33 = 15$
5. $15 — 2 = 13$

Ответ: $y_3 = 13$.

б) $y_n = \frac{3}{2n — 5}$

Это уравнение гиперболы, и график убывает, поэтому наибольшее значение функция принимает на вертикальной асимптоте, которая будет справа от точки, где знаменатель $2n — 5 = 0$.

Шаг 1: Нахождение вертикальной асимптоты.

Чтобы найти вертикальную асимптоту, приравняем знаменатель к нулю:

$$2n — 5 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2n = 5 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{5}{2} = 2,5$$

Это значение $n = 2,5$ является вертикальной асимптотой.

Шаг 2: Нахождение значения функции для $n = 3$.

Теперь мы ищем значение функции в точке $n = 3$ (так как функция на асимптоте не определена):

$$y_3 = \frac{3}{2 \cdot 3 — 5}$$

Посчитаем поэтапно:

1. $2 \cdot 3 = 6$
2. $6 — 5 = 1$
3. $y_3 = \frac{3}{1} = 3$

Ответ: $y_3 = 3$.

в) $y_n = 20 — 12n — 3n^2$

Это уравнение параболы, открывающейся вниз (так как коэффициент при $n^2$ равен $-3$). Таким образом, наибольшее значение будет в вершине параболы.

Шаг 1: Нахождение координаты вершины параболы.

Для параболы вида $y_n = an^2 + bn + c$ вершина находится в точке:

$$n = -\frac{b}{2a}$$

В данном случае, $a = -3$, $b = -12$. Подставим эти значения в формулу:

$$n = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{-6} = -2$$

Шаг 2: Нахождение значения функции в точке вершины.

Теперь подставим $n = 1$ (так как ближайшая точка по нашему запросу) в исходное уравнение:

$$y_1 = 20 — 12 \cdot 1 — 3 \cdot 1^2$$

Посчитаем поэтапно:

1. $12 \cdot 1 = 12$
2. $3 \cdot 1^2 = 3$
3. $20 — 12 — 3 = 5$

Ответ: $y_1 = 5$.

г) $y_n = \frac{4}{n + 4}$

Это гиперболическое уравнение. Здесь вертикальная асимптота будет в точке $n + 4 = 0$, то есть при $n = -4$.

Шаг 1: Нахождение вертикальной асимптоты.

Для нахождения вертикальной асимптоты приравняем знаменатель к нулю:

$$n + 4 = 0$$

Решаем уравнение:

$$n = -4$$

Это и есть точка вертикальной асимптоты.

Шаг 2: Нахождение значения функции для $n = 1$.

Теперь подставим $n = 1$ в исходное уравнение:

$$y_1 = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$$

Ответ: $y_1 = \frac{4}{5}$.

Итоги:

а) Ответ: 13

б) Ответ: 3

в) Ответ: 5

г) Ответ: $\frac{4}{5}$