ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли ограниченной снизу последовательность:

а) $-1; 2; -3; 4; -5; \ldots$;

б) $y_n = \frac{n^2}{n+1}$;

в) $5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; \ldots$;

г) $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$

а) $-1; 2; -3; 4; -5; \ldots$;
Последовательность не ограничена снизу;

б) $y_n = \frac{n^2}{n+1}$;
Числитель возрастает быстрее знаменателя;
Значит, последовательность ограничена снизу:
$y_{min} = y_1 = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$;

в) $5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; \ldots$;
Последовательность не ограничена снизу;

г) $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$;
Если число $n$ — четное, тогда $y_n = 2n^2 > 0$;
Если число $n$ — нечетное, тогда $y_n = 0 \cdot n^2 = 0$;
Значит, последовательность ограничена снизу:
$y_{min} = 0$;

Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да.

а) $-1; 2; -3; 4; -5; \ldots$

Это последовательность, состоящая из чередующихся отрицательных и положительных чисел. Мы можем записать её как $a_n = (-1)^n \cdot n$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Шаг 1: Оценка для $n$ четных
Когда $n$ чётное, выражение $(-1)^n$ даёт $1$, и последовательность принимает положительные значения. Например:

• для $n = 2$, $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
• для $n = 4$, $a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 4$

Шаг 2: Оценка для $n$ нечётных
Когда $n$ нечётное, выражение $(-1)^n$ даёт $-1$, и последовательность принимает отрицательные значения. Например:

• для $n = 1$, $a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$
• для $n = 3$, $a_3 = (-1)^3 \cdot 3 = -3$

Шаг 3: Оценка тенденции последовательности
Каждое новое число по модулю увеличивается на 1, чередуя знаки. Поэтому последовательность будет принимать значения:

• $-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, \ldots$

Очевидно, что она не ограничена снизу, так как для всех нечётных $n$ последовательность принимает всё более отрицательные значения (например, $-1, -3, -5, -7, \ldots$).

Вывод: Последовательность не ограничена снизу.

б) $y_n = \frac{n^2}{n+1}$

Давайте рассмотрим эту последовательность.

Шаг 1: Оценка поведения числителя и знаменателя
Числитель $n^2$ растёт быстрее, чем знаменатель $n+1$, так как при больших $n$ отношение $\frac{n^2}{n+1}$ будет стремиться к $n$. В частности, при больших значениях $n$, последовательность будет приближаться к $n$.

Шаг 2: Оценка на малых $n$
Посмотрим на первые несколько членов последовательности:

• $y_1 = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$
• $y_2 = \frac{2^2}{2+1} = \frac{4}{3}$
• $y_3 = \frac{3^2}{3+1} = \frac{9}{4}$
• $y_4 = \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5}$

Видно, что последовательность монотонно возрастает и стремится к бесконечности с увеличением $n$.

Шаг 3: Оценка снизу
Минимальное значение последовательности при $n = 1$ равно $y_1 = \frac{1}{2}$. Поскольку последовательность монотонно возрастает, она ограничена снизу и не может уменьшаться ниже этого значения.

Вывод: Последовательность ограничена снизу, минимум $y_{\min} = \frac{1}{2}$.

в) $5; 4; 3; 2; 1; 0; -1; \ldots$

Это последовательность, которая убывает на 1 с каждым шагом, начиная с 5.

Шаг 1: Оценка поведения последовательности
Последовательность $5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, \ldots$ является арифметической прогрессией с разностью $-1$, и она убывает.

Шаг 2: Оценка снизу
Так как последовательность убывает на 1 с каждым шагом, она продолжает снижаться и не ограничена снизу, так как для любого числа можно найти большее отрицательное значение, например:

• для $n = 8$, $a_8 = -3$
• для $n = 9$, $a_9 = -4$
• и так далее.

Вывод: Последовательность не ограничена снизу.

г) $y_n = ((-1)^n + 1)n^2$

Рассмотрим эту последовательность более подробно. Для чётных и нечётных значений $n$ выражение $(-1)^n + 1$ будет принимать разные значения.

Шаг 1: Оценка для чётных $n$
Когда $n$ чётное, $(-1)^n = 1$, и тогда:
$y_n = (1 + 1)n^2 = 2n^2$
Таким образом, для чётных $n$ последовательность принимает положительные значения, например:

• для $n = 2$, $y_2 = 2 \cdot 2^2 = 8$
• для $n = 4$, $y_4 = 2 \cdot 4^2 = 32$

Шаг 2: Оценка для нечётных $n$
Когда $n$ нечётное, $(-1)^n = -1$, и тогда:
$y_n = (-1 + 1)n^2 = 0$
Таким образом, для нечётных $n$ последовательность всегда равна 0, например:

• для $n = 1$, $y_1 = 0$
• для $n = 3$, $y_3 = 0$

Шаг 3: Оценка снизу
Минимальное значение последовательности при нечётных $n$ равно $0$, и для чётных $n$ последовательность возрастает. Таким образом, последовательность ограничена снизу значением $0$.

Вывод: Последовательность ограничена снизу, минимум $y_{\min} = 0$.

Ответ:

а) нет;
б) да;
в) нет;
г) да.