ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли ограниченной сверху последовательность:

а) $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$;

б) $1; -1; 1; -2; 1; -3; \ldots$;

в) $x_n = \frac{n^2 — 1}{n^2 + 2}$

г) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \ldots$

а) $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$;

Если число $n$ — четное, тогда $y_n = \frac{2}{n} \leq 1$;

Если число $n$ — нечетное, тогда $y_n = \frac{0}{n} = 0$;

Значит, последовательность ограничена сверху:

$y_{\text{max}} = 1$;

б) $1; -1; 1; -2; 1; -3; \ldots$;

Последовательность ограничена сверху:

$y_{\text{max}} = 1$;

в) $x_n = \frac{n^2 — 1}{n^2 + 2}$

Знаменатель дроби всегда больше числителя;

Значит, последовательность ограничена сверху:

$y_{\text{max}} = 1$;

г) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \ldots$;

Знаменатель дроби всегда больше числителя;

Значит, последовательность ограничена сверху:

$y_{\text{max}} = 1$;

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.

Для того чтобы понять, является ли последовательность ограниченной сверху, нужно выяснить, существует ли верхняя граница, то есть такое число $M$, что для всех членов последовательности выполняется неравенство $y_n \leq M$.

Разберем каждый случай поочередно.

а) $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$

Анализ выражения:
Последовательность определяется как $x_n = \frac{(-1)^n + 1}{n}$. Мы видим, что числитель зависит от четности числа $n$:

• Если $n$ — четное, то $(-1)^n = 1$, следовательно, числитель будет равен $1 + 1 = 2$. Таким образом, $x_n = \frac{2}{n}$.
• Если $n$ — нечетное, то $(-1)^n = -1$, следовательно, числитель будет равен $-1 + 1 = 0$. Таким образом, $x_n = \frac{0}{n} = 0$.

Члены последовательности:

• Если $n$ четное, то $x_n = \frac{2}{n}$. С каждым увеличением $n$ этот член будет уменьшаться. Например, при $n = 2$ $x_2 = 1$, при $n = 4$ $x_4 = 0.5$, и так далее. Для всех четных $n$ выполняется $0 < x_n \leq 1$.
• Если $n$ нечетное, то $x_n = 0$.

Ограниченность сверху:
Для всех четных $n$ максимальное значение $x_n$ — это 1 (при $n = 2$). Для нечетных $n$ значение $x_n = 0$, что также меньше 1. Таким образом, максимальное значение последовательности равно 1, и последовательность ограничена сверху.

Следовательно, $y_{\text{max}} = 1$.

б) $1; -1; 1; -2; 1; -3; \ldots$

Анализ последовательности:
Последовательность чередуется между $1$ и отрицательными числами. Каждый четный член последовательности — это число вида $-k$, где $k$ — положительное целое число, начинающееся с 1 и увеличивающееся с каждым шагом.

Члены последовательности:
Последовательность выглядит следующим образом: $1; -1; 1; -2; 1; -3; \ldots$. Видно, что:

• Все члены, стоящие на четных местах (то есть $n = 2, 4, 6, \dots$), отрицательны и становятся все более отрицательными.
• Все члены, стоящие на нечетных местах (то есть $n = 1, 3, 5, \dots$), равны $1$.

Ограниченность сверху:
Наибольшее значение в последовательности — это $1$, которое повторяется на всех нечетных местах. Последовательность ограничена сверху числом 1.

Следовательно, $y_{\text{max}} = 1$.

в) $x_n = \frac{n^2 — 1}{n^2 + 2}$

Анализ выражения:
Последовательность задана выражением $x_n = \frac{n^2 — 1}{n^2 + 2}$.
Мы видим, что числитель и знаменатель являются полными квадратами $n$, только с некоторыми добавленными или вычтенными константами. Это подразумевает, что последовательность будет стремиться к 1 при $n \to \infty$.

Члены последовательности:
Для любого $n$ знаменатель $n^2 + 2$ всегда больше числителя $n^2 — 1$. Это означает, что $x_n < 1$ для всех $n$.

Например, при $n = 1$, $x_1 = \frac{1^2 — 1}{1^2 + 2} = \frac{0}{3} = 0$. При $n = 2$, $x_2 = \frac{2^2 — 1}{2^2 + 2} = \frac{3}{6} = 0.5$. С увеличением $n$, значение $x_n$ будет приближаться к 1.

Ограниченность сверху:
Из выражения видно, что последовательность всегда меньше 1. Поэтому она ограничена сверху числом 1.

Следовательно, $y_{\text{max}} = 1$.

г) $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \ldots$

Анализ последовательности:
Последовательность состоит из дробей вида $\frac{n}{n+1}$, где $n$ — это натуральное число, начиная с 1.

Члены последовательности:
Последовательность выглядит следующим образом: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$.
Для каждого члена числитель $n$ всегда меньше знаменателя $n+1$, что означает, что каждый член последовательности будет меньше 1. Кроме того, с увеличением $n$ значение дроби будет стремиться к 1.

Ограниченность сверху:
Все члены последовательности меньше 1. Последовательность будет стремиться к 1, но не будет его достигать, так как каждый член строго меньше 1. Следовательно, последовательность ограничена сверху числом 1.

Следовательно, $y_{\text{max}} = 1$.

Ответ:

а) да;

б) да;

в) да;

г) да.