ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли ограниченной последовательность:

а) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \ldots; \frac{1}{n}; \ldots$;

б) $-2; 3; -4; 5; \ldots; (-1)^n(n + 1); \ldots$;

в) $\frac{\sin 1}{1}; -\frac{\sin 2}{2}; \frac{\sin 3}{3}; \ldots; \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n}; \ldots$;

г) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}; \ldots; \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n — 1); \ldots$

а) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \ldots; \frac{1}{n}; \ldots$;

Числитель дроби всегда не больше знаменателя;

Значит последовательность ограничена:

$y_{min} = 0$ и $y_{max} = \frac{1}{2}$;

б) $-2; 3; -4; 5; \ldots; (-1)^n(n + 1); \ldots$;

Последовательность не ограничена;

в) $\frac{\sin 1}{1}; -\frac{\sin 2}{2}; \frac{\sin 3}{3}; \ldots; \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n}; \ldots$;

$-1 \leq (-1)^{n-1} \cdot \sin n \leq 1$;

Числитель дроби всегда не больше знаменателя;

Значит последовательность ограничена:

$y_{min} = -1$ и $y_{max} = 1$;

г) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}; \ldots; \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n — 1); \ldots$;

Тангенс периодическая функция, аргумент которой равен:

$\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4} = \frac{\pi}{4}; \ldots$;

При всех этих значениях аргумента тангенс равен $-1$ или $1$;

Значит функция ограничена:

$y_{min} = -1$ и $y_{max} = 1$;

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да.

а) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \ldots; \frac{1}{n}; \ldots$

Последовательность задана как:

$$a_n = \frac{1}{n+1}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Это последовательность, в которой числитель всегда равен 1, а знаменатель увеличивается с каждым шагом. Рассмотрим поведение этой последовательности:

1. Числитель всегда равен 1, и числитель всегда меньше или равен знаменателю, так как $n + 1 \geq 2$ для всех $n \geq 1$.
2. С каждым увеличением $n$ знаменатель увеличивается, а дробь становится все меньше.
3. Очевидно, что последовательность убывает и стремится к нулю, но никогда не достигает нуля.

Анализ:

• $a_n$ уменьшается, и для всех $n$ выполняется неравенство $0 \leq a_n \leq \frac{1}{2}$.
• Таким образом, последовательность ограничена сверху значением $\frac{1}{2}$, а снизу — нулем.

Значит, последовательность ограничена:

$$y_{\min} = 0 \quad \text{и} \quad y_{\max} = \frac{1}{2}.$$

Ответ для пункта а): да, последовательность ограничена.

б) $-2; 3; -4; 5; \ldots; (-1)^n(n + 1); \ldots$

Последовательность задана формулой:

$$a_n = (-1)^n(n + 1), \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Каждый элемент последовательности меняет знак в зависимости от четности $n$. Рассмотрим поведение этой последовательности:

1. Для четных $n$ последовательность будет принимать положительные значения: $a_2 = 3, a_4 = 5, \dots$, а для нечетных $n$ — отрицательные: $a_1 = -2, a_3 = -4, \dots$.
2. Члены последовательности продолжают расти по величине как $n + 1$, где $n$ увеличивается с каждым шагом.

Анализ:

• Члены последовательности не ограничены сверху или снизу, так как для четных $n$ последовательность будет стремиться к бесконечности, а для нечетных — к минус бесконечности.
• Таким образом, последовательность не ограничена.

Ответ для пункта б): нет, последовательность не ограничена.

в) $\frac{\sin 1}{1}; -\frac{\sin 2}{2}; \frac{\sin 3}{3}; \ldots; \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n}; \ldots$

Последовательность задана формулой:

$$a_n = \frac{(-1)^{n-1} \sin n}{n}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Рассмотрим свойства этой последовательности:

1. $\sin n$ всегда находится в интервале от -1 до 1: $-1 \leq \sin n \leq 1$.
2. Числитель будет изменяться знаками, в зависимости от $(-1)^{n-1}$, но всегда оставаться в пределах от -1 до 1.
3. Знаменатель $n$ растет с каждым шагом, и $\frac{1}{n}$ стремится к нулю.

Анализ:

• Для всех $n$ выполняется неравенство:

$$-1 \leq (-1)^{n-1} \sin n \leq 1.$$

• Следовательно, весь числитель дроби всегда находится в пределах от -1 до 1.
• С учетом того, что знаменатель $n$ всегда положителен и растет, последовательность убывает по величине, и её члены ограничены как сверху, так и снизу.

Значит, последовательность ограничена:

$$y_{\min} = -1 \quad \text{и} \quad y_{\max} = 1.$$

Ответ для пункта в): да, последовательность ограничена.

г) $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{3\pi}{4}; \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}; \ldots; \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}(2n — 1); \ldots$

Последовательность задана как:

$$a_n = \tg \frac{\pi}{4}(2n — 1), \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

Рассмотрим, как ведет себя тангенс:

1. Аргумент функции тангенса — это нечетные углы, начиная с $\frac{\pi}{4}$.
2. Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, и ее значения на каждом из этих углов будут чередоваться между $-1$ и $1$, так как:

   $$\tg \frac{\pi}{4} = 1, \quad \tg \frac{3\pi}{4} = -1, \quad \tg \frac{5\pi}{4} = 1, \quad \tg \frac{7\pi}{4} = -1, \dots$$

3. Таким образом, последовательность принимает только значения $-1$ или $1$.

Анализ:

• Поскольку тангенс чередуется между $-1$ и $1$, последовательность строго ограничена этими значениями.

Значит, последовательность ограничена:

$$y_{\min} = -1 \quad \text{и} \quad y_{\max} = 1.$$

Ответ для пункта г): да, последовательность ограничена.

Итоговый ответ:

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да.