ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что ($x_n$) — ограниченная последовательность. Является ли ограниченной последовательность:

а) $y_n = -5x_n + 2$;

б) $p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1}$;

в) $z_n = \frac{1}{2|x_n| + 1}$;

г) $t_n = x_n \cdot \sin(3n)$

$(x_n)$ — ограниченная последовательность;

а) $y_n = -5x_n + 2$;
Последовательность ограничена, так как ее аргумент ограничен;

б) $p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1}$;
Последовательность ограничена, так как ее аргумент ограничен;

в) $z_n = \frac{1}{2|x_n| + 1}$;
Последовательность ограничена, так как ее аргумент ограничен;

г) $t_n = x_n \cdot \sin(3n)$;
$-1 \leq \sin(3n) \leq 1$;
Последовательность ограничена, так как один ее аргумент и тригонометрическая функция, содержащая второй аргумент, ограничены;

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да.

Пусть дана последовательность $(x_n)$, которая является ограниченной. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что для всех $n$ выполняется неравенство:

$$|x_n| \leq M, \quad \forall n.$$

Теперь рассмотрим следующие последовательности:

а) $y_n = -5x_n + 2$

Наша задача — доказать, что последовательность $(y_n)$ ограничена.

Так как последовательность $(x_n)$ ограничена, то для всех $n$ существует $M > 0$, что:

$$|x_n| \leq M.$$

Рассмотрим $y_n = -5x_n + 2$. Для того чтобы проверить, ограничена ли эта последовательность, нужно исследовать модуль $|y_n|$.

$$|y_n| = |-5x_n + 2| = |5x_n — 2|.$$

Теперь воспользуемся неравенством треугольника и оценим верхнюю границу для $|5x_n — 2|$:

$$|5x_n — 2| \leq |5x_n| + |2| = 5|x_n| + 2.$$

Поскольку $|x_n| \leq M$ (по условию, что последовательность $(x_n)$ ограничена), то:

$$|y_n| \leq 5M + 2.$$

Следовательно, последовательность $y_n$ ограничена с верхней границей $5M + 2$, и она не выходит за пределы этого интервала.

Ответ: последовательность $y_n$ ограничена.

б) $p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1}$

Наша задача — доказать, что последовательность $(p_n)$ ограничена.

Для начала обратим внимание, что выражение $p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1}$ всегда больше или равно нулю, так как квадрат любого числа $x_n^2 \geq 0$, а знаменатель $x_n^2 + 1 > 0$.

Оценим верхнюю границу для $p_n$. Заметим, что для всех $x_n$ выполняется неравенство:

$$x_n^2 \leq M^2, \quad \forall n,$$

так как $|x_n| \leq M$.

Теперь подставим это в выражение для $p_n$:

$$p_n = \frac{x_n^2}{x_n^2 + 1} \leq \frac{M^2}{M^2 + 1}.$$

Таким образом, $p_n$ ограничено сверху числом $\frac{M^2}{M^2 + 1}$, и, как видно, эта последовательность всегда лежит в интервале от 0 до $\frac{M^2}{M^2 + 1}$.

Ответ: последовательность $p_n$ ограничена.

в) $z_n = \frac{1}{2|x_n| + 1}$

Наша задача — доказать, что последовательность $(z_n)$ ограничена.

Рассмотрим выражение для $z_n$:

$$z_n = \frac{1}{2|x_n| + 1}.$$

Поскольку $|x_n| \leq M$, то:

$$2|x_n| + 1 \leq 2M + 1.$$

Таким образом, для $z_n$ мы имеем:

$$z_n \geq \frac{1}{2M + 1},$$

и, так как $|x_n| \geq 0$, то:

$$z_n \leq \frac{1}{1} = 1.$$

Следовательно, последовательность $z_n$ ограничена интервалом $\left[\frac{1}{2M + 1}, 1\right]$, и она не выходит за эти пределы.

Ответ: последовательность $z_n$ ограничена.

г) $t_n = x_n \cdot \sin(3n)$

Наша задача — доказать, что последовательность $(t_n)$ ограничена.

Мы знаем, что функция $\sin(3n)$ ограничена:

$$-1 \leq \sin(3n) \leq 1, \quad \forall n.$$

Таким образом, выражение $t_n = x_n \cdot \sin(3n)$ можно ограничить следующим образом:

$$|t_n| = |x_n \cdot \sin(3n)| \leq |x_n| \cdot 1 = |x_n|.$$

Поскольку последовательность $(x_n)$ ограничена, то существует $M > 0$, такое что $|x_n| \leq M$ для всех $n$.

Следовательно:

$$|t_n| \leq M,$$

что означает, что последовательность $t_n$ ограничена.

Ответ: последовательность $t_n$ ограничена.

Итог:

а) да;

б) да;

в) да;

г) да.