ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена сверху числом 1:

а) $y_n = \frac{2n + p}{2n + 1} \leq 1$;

б) $z_n=\frac{n}{p^2+n}\le 1$

Последовательность ограничена сверху числом 1, если ни при каких значениях $n$ она не превышает это число;

а) $y_n = \frac{2n + p}{2n + 1} \leq 1$;

$2n + p \leq 2n + 1$;

$2n — 2n + p \leq 1$;

$p \leq 1$;

Ответ: $p \leq 1$;

б) $z_n = \frac{n}{p^2 + n} \leq 1$;

$n \leq p^2 + n$;

$n — n \leq p^2$;

$0 \leq p^2$ — верно при любом $p$;

Ответ: $p$ — любое число.

Задана последовательность, которая ограничена сверху числом 1. Мы должны определить, при каких значениях параметра $p$ эта последовательность не превосходит 1 для всех значений $n$.

Рассмотрим последовательности, для которых нужно найти такие значения $p$, чтобы последовательность была ограничена сверху числом 1. В задании даны две последовательности, и мы будем решать каждую по очереди.

а)  $y_n = \frac{2n + p}{2n + 1}$

Условие задачи:

Последовательность $y_n$ должна быть ограничена сверху числом 1, то есть:

$$y_n = \frac{2n + p}{2n + 1} \leq 1.$$

Мы начинаем с того, чтобы выразить это неравенство:

$$\frac{2n + p}{2n + 1} \leq 1.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $2n + 1$ (заметим, что $2n + 1 > 0$ для всех $n$, так как $n$ — целое число, а 1 — положительное):

$$2n + p \leq 2n + 1.$$

Теперь можем упростить это неравенство, вычитая $2n$ с обеих сторон:

$$p \leq 1.$$

Таким образом, для того чтобы последовательность $y_n$ была ограничена сверху числом 1, необходимо, чтобы параметр $p$ удовлетворял условию:

$$p \leq 1.$$

Ответ для первой последовательности: $p \leq 1$.

б) $z_n = \frac{n}{p^2 + n}$

Условие задачи:

Последовательность $z_n$ также должна быть ограничена сверху числом 1, то есть:

$$z_n = \frac{n}{p^2 + n} \leq 1.$$

Мы начинаем с того, чтобы выразить это неравенство:

$$\frac{n}{p^2 + n} \leq 1.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на $p^2 + n$ (обратите внимание, что $p^2 + n > 0$ для всех значений $n$ и $p$):

$$n \leq p^2 + n.$$

Теперь вычитаем $n$ с обеих сторон:

$$0 \leq p^2.$$

Это неравенство всегда верно для любого $p$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, для любой $p$ последовательность $z_n$ всегда будет ограничена сверху числом 1.

Ответ для второй последовательности: $p$ может быть любым числом.