ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена снизу числом 1:

а) $y_n = \frac{n — p}{n + 2} \geq 1$;

б) $z_n = \frac{2n + 9}{2n + p^2} \geq 1$

Последовательность ограничена снизу числом 1, если при любых значениях $n$ она не меньше этого числа;

а) $y_n = \frac{n — p}{n + 2} \geq 1$;

$n — p \geq n + 2$;

$n — n — 2 \geq p$;

$p \leq -2$;

Ответ: $p \leq -2$.

б) $z_n = \frac{2n + 9}{2n + p^2} \geq 1$;

$2n + 9 \geq 2n + p^2$;

$2n — 2n + 9 \geq p^2$;

$p^2 \leq 9$;

$-3 \leq p \leq 3$;

Ответ: $-3 \leq p \leq 3$.

Для того чтобы последовательность была ограничена снизу числом 1, необходимо, чтобы для любого значения $n$ выполнялось условие:

$$y_n \geq 1$$

Это означает, что для всех значений $n$, выражение для $y_n$ должно быть не меньше 1. Рассмотрим два случая, которые были предложены в задаче, и найдем при каких значениях параметра $p$ это условие выполняется.

а)

Дана последовательность $y_n = \frac{n — p}{n + 2}$. Нужно найти такие значения параметра $p$, при которых эта последовательность ограничена снизу числом 1, т.е. $y_n \geq 1$.

Шаг 1: Неравенство $y_n \geq 1$

Начнем с того, что нужно решить неравенство:

$$\frac{n — p}{n + 2} \geq 1$$

Шаг 2: Умножение обеих частей неравенства на $n + 2$

Так как $n + 2 > 0$ для всех $n \geq -2$, можем умножить обе части неравенства на $n + 2$, не изменяя знака неравенства:

$$n — p \geq n + 2$$

Шаг 3: Упростим неравенство

Теперь упростим выражение:

$$n — p \geq n + 2$$

Вычитаем $n$ с обеих сторон:

$$-p \geq 2$$

Шаг 4: Изменение знака

Умножим обе стороны неравенства на $-1$ (при этом неравенство изменит знак):

$$p \leq -2$$

Ответ:

Для того чтобы последовательность была ограничена снизу числом 1, значение параметра $p$ должно удовлетворять условию:

$$p \leq -2$$

б)

Дана последовательность $z_n = \frac{2n + 9}{2n + p^2}$. Нужно найти такие значения параметра $p$, при которых эта последовательность ограничена снизу числом 1, т.е. $z_n \geq 1$.

Шаг 1: Неравенство $z_n \geq 1$

Начнем с того, что нужно решить неравенство:

$$\frac{2n + 9}{2n + p^2} \geq 1$$

Шаг 2: Умножение обеих частей неравенства на $2n + p^2$

Так как для всех $n \geq -\frac{p^2}{2}$ выражение $2n + p^2 > 0$, можем умножить обе части неравенства на $2n + p^2$, не изменяя знака неравенства:

$$2n + 9 \geq 2n + p^2$$

Шаг 3: Упростим неравенство

Теперь упростим выражение:

$$2n + 9 \geq 2n + p^2$$

Вычитаем $2n$ с обеих сторон:

$$9 \geq p^2$$

Шаг 4: Извлечение квадратного корня

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон. Поскольку $p^2 \geq 0$, то из неравенства $9 \geq p^2$ получаем:

$$|p| \leq 3$$

Это означает, что $p$ должно быть в пределах от $-3$ до $3$:

$$-3 \leq p \leq 3$$

Ответ:

Для того чтобы последовательность была ограничена снизу числом 1, значение параметра $p$ должно удовлетворять условию:

$$-3 \leq p \leq 3$$