ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра р последовательность:

a) $y_n = \frac{2n + p}{3n — 1} \leq 1$ограничена сверху числом 1;

б) $y_n=\frac{p+5n}{3n+1}$ограничена снизу числом 1?

В данных примерах учтем, что наименьшее значение $n$ равно 1;

а) $y_n = \frac{2n + p}{3n — 1} \leq 1$;

$2n + p \leq 3n — 1$;

$p \leq 3n — 2n — 1$;

$p \leq n — 1$;

$p \leq 1 — 1$;

$p \leq 0$;

Ответ: $p \leq 0$.

б) $y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1} \geq 1$;

$p + 5n \geq 3n + 1$;

$p \geq 3n — 5n + 1$;

$p \geq -2n + 1$;

$p \geq -2 \cdot 1 + 1$;

$p \geq -1$;

Ответ: $p \geq -1$.

Пример а)

Нам дано выражение для $y_n$:

$$y_n = \frac{2n + p}{3n — 1} \leq 1$$

Шаг 1: Избавляемся от дроби.

Для этого нужно умножить обе части неравенства на знаменатель $3n — 1$. При этом важно помнить, что при умножении на выражение с переменной $n$, которое может быть как положительным, так и отрицательным, необходимо учитывать знак этого выражения. Так как $3n — 1$ для любого $n \geq 1$ всегда положительно, можно безопасно умножить обе части на $3n — 1$ без изменения знака неравенства.

Итак, умножаем:

$$2n + p \leq (3n — 1)$$

Шаг 2: Приводим подобные члены.

Теперь перенесем все выражения, содержащие $n$, в одну сторону, а все константы — в другую. Для этого вычитаем $2n$ из обеих сторон:

$$p \leq 3n — 2n — 1$$

Упрощаем:

$$p \leq n — 1$$

Шаг 3: Подставляем наименьшее значение $n$.

Мы знаем, что наименьшее значение $n$ равно 1. Подставляем $n = 1$ в неравенство:

$$p \leq 1 — 1$$

Упрощаем:

$$p \leq 0$$

Ответ:

Таким образом, для того чтобы неравенство выполнялось при $n \geq 1$, необходимо, чтобы $p \leq 0$.

Ответ: $p \leq 0$.

Пример б)

Нам дано выражение для $y_n$:

$$y_n = \frac{p + 5n}{3n + 1} \geq 1$$

Шаг 1: Избавляемся от дроби.

Для этого нужно умножить обе части неравенства на знаменатель $3n + 1$. Мы видим, что $3n + 1$ всегда положительно при $n \geq 1$, так как при $n = 1$, это значение равно 4, а для всех больший $n$ оно только растет. Следовательно, можно безопасно умножить обе части на $3n + 1$ без изменения знака неравенства. Умножаем:

$$p + 5n \geq 3n + 1$$

Шаг 2: Приводим подобные члены.

Теперь перенесем все выражения, содержащие $n$, в одну сторону, а все константы — в другую. Для этого вычитаем $3n$ из обеих сторон:

$$p + 5n — 3n \geq 1$$

Упрощаем:

$$p + 2n \geq 1$$

Шаг 3: Подставляем наименьшее значение $n$.

Мы знаем, что наименьшее значение $n$ равно 1. Подставляем $n = 1$ в неравенство:

$$p + 2 \cdot 1 \geq 1$$

Упрощаем:

$$p + 2 \geq 1$$

Вычитаем 2 из обеих сторон:

$$p \geq 1 — 2$$

Упрощаем:

$$p \geq -1$$

Ответ:

Таким образом, для того чтобы неравенство выполнялось при $n \geq 1$, необходимо, чтобы $p \geq -1$.

Ответ: $p \geq -1$.