ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите, является последовательность ($x_n$) убывающей или возрастающей:

а) $x_n = 3n + 2$;

б) $x_n = \frac{5}{n + 3}$;

в) $x_n = 6^{1-n}$;

г) $x_n = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n-1}$

а) $x_n = 3n + 2$;
$x_{n+1} = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$;
$x_{n+1} — x_n = 3n + 5 — 3n — 2 = 3 > 0$;
$x_{n+1} > x_n$ — последовательность возрастает;

б) $x_n = \frac{5}{n + 3}$;
$x_{n+1} = \frac{5}{n + 1 + 3} = \frac{5}{n + 4}$;
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{5}{n + 4} \cdot \frac{n + 3}{5} = \frac{n + 3}{n + 4} < 1$;
$x_{n+1} < x_n$ — последовательность убывает;

в) $x_n = 6^{1-n}$;
$x_{n+1} = 6^{1-(n+1)} = 6^{1-n-1} = 6^{-n}$;
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{6^{-n}}{6^{1-n}} = 6^{-n-1+n} = 6^{-1} = \frac{1}{6} < 1$;
$x_{n+1} < x_n$ — последовательность убывает;

г) $x_n = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n-1}$;
Степень $(2n-1)$ — всегда нечетная, то есть все $x_n < 0$;
$x_{n+1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2(n+1)-1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n+2-1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n+1}$;
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n+1} : \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n-1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n+1-2n+1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} < 1$;
$x_{n+1} > x_n$ — последовательность возрастает;

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ возрастающей или убывающей, необходимо вычислить разницу $x_{n+1} — x_n$ (или использовать другие методы для анализа монотонности, если это необходимо), и проверить знак полученной разницы.

а) $x_n = 3n + 2$

Шаг 1: Запишем выражение для $x_{n+1}$:

$$x_{n+1} = 3(n+1) + 2$$

Шаг 2: Упростим $x_{n+1}$:

$$x_{n+1} = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$$

Шаг 3: Найдем разницу $x_{n+1} — x_n$:

$$x_{n+1} — x_n = (3n + 5) — (3n + 2)$$ $$x_{n+1} — x_n = 3n + 5 — 3n — 2 = 3$$

Шаг 4: Интерпретация результата:

• Разница $x_{n+1} — x_n = 3$, что больше нуля ($3 > 0$).
• Это означает, что $x_{n+1} > x_n$ для всех $n$, то есть последовательность возрастает.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ возрастает.

б) $x_n = \frac{5}{n + 3}$

Шаг 1: Запишем выражение для $x_{n+1}$:

$$x_{n+1} = \frac{5}{(n+1) + 3} = \frac{5}{n + 4}$$

Шаг 2: Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\frac{5}{n + 4}}{\frac{5}{n + 3}} = \frac{5}{n + 4} \cdot \frac{n + 3}{5} = \frac{n + 3}{n + 4}$$

Шаг 3: Анализируем знак:

• $\frac{n + 3}{n + 4}$ всегда меньше 1 для всех $n \geq 0$, так как $n + 3 < n + 4$.
• Следовательно, $\frac{x_{n+1}}{x_n} < 1$, что означает, что $x_{n+1} < x_n$ для всех $n$.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ убывает.

в) $x_n = 6^{1 — n}$

Шаг 1: Запишем выражение для $x_{n+1}$:

$$x_{n+1} = 6^{1 — (n+1)} = 6^{1 — n — 1} = 6^{-n}$$

Шаг 2: Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{6^{-n}}{6^{1 — n}} = 6^{-n — 1 + n} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$$

Шаг 3: Интерпретация результата:

• $\frac{1}{6} < 1$, что означает, что $x_{n+1} < x_n$ для всех $n$.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ убывает.

г) $x_n = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n — 1}$

Шаг 1: Запишем выражение для $x_{n+1}$:

$$x_{n+1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2(n+1) — 1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n + 2 — 1} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{2n + 1}$$

Шаг 2: Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\left( -\frac{1}{5} \right)^{2n + 1}}{\left( -\frac{1}{5} \right)^{2n — 1}} = \left( -\frac{1}{5} \right)^{(2n + 1) — (2n — 1)} = \left( -\frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}$$

Шаг 3: Интерпретация результата:

• $\frac{1}{25} < 1$, что означает, что $x_{n+1} > x_n$, потому что степень $2n + 1$ всегда нечетная, следовательно, все $x_n < 0$, а $\left( -\frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}$ делает последовательность возрастать.

Ответ: Последовательность $(x_n)$ возрастает.