ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Объясните, является последовательность ($y_n$) убывающей или возрастающей, если для любого номера n выполняется неравенство:

а) $y_{n+1} — y_n > 0$;

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ ( $y_n > 0$ );

в) $y_{n+1} — y_n < 0$;

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ ( $y_n < 0$ )

а) $y_{n+1} — y_n > 0$;
$y_{n+1} > y_n$;
Последовательность возрастает;

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ ( $y_n > 0$ );
$y_{n+1} < y_n$;
Последовательность убывает;

в) $y_{n+1} — y_n < 0$;
$y_{n+1} < y_n$;
Последовательность убывает;

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ ( $y_n < 0$ );
$|y_{n+1}| < |y_n|$;
$y_{n+1} > y_n$;
Последовательность возрастает;

Рассмотрим, что такое возрастающая и убывающая последовательность:

• Последовательность называется возрастающей, если для всех $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} \geq y_n$. Если $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$, то последовательность строго возрастающая.
• Последовательность называется убывающей, если для всех $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} \leq y_n$. Если $y_{n+1} < y_n$ для всех $n$, то последовательность строго убывающая.

Теперь давайте проанализируем различные виды неравенств, которые нам даны:

а) $y_{n+1} — y_n > 0$

Это неравенство говорит о том, что разность между следующими членами последовательности положительна, то есть:

$$y_{n+1} — y_n > 0 \quad \text{или} \quad y_{n+1} > y_n$$

Это прямо указывает на то, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Следовательно, последовательность возрастающая.

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при $y_n > 0$

Здесь мы имеем отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$, что означает, что следующий член последовательности меньше предыдущего:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 \quad \text{или} \quad y_{n+1} < y_n$$

Это условие подтверждает, что каждый следующий элемент меньше предыдущего, при этом $y_n > 0$. Таким образом, последовательность убывает.

в) $y_{n+1} — y_n < 0$

Это неравенство говорит о том, что разность между следующими членами последовательности отрицательна, то есть:

$$y_{n+1} — y_n < 0 \quad \text{или} \quad y_{n+1} < y_n$$

Это также указывает на то, что последовательность убывает.

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при $y_n < 0$

В этом случае $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ означает, что следующий элемент по модулю меньше предыдущего:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1 \quad \text{или} \quad |y_{n+1}| < |y_n|$$

Это выражение говорит о том, что абсолютное значение следующего элемента меньше, чем абсолютное значение текущего. Однако при этом важно заметить, что $y_n < 0$, следовательно, $y_{n+1} > y_n$. Это указывает на то, что последовательность в данном случае возрастает, несмотря на то, что её члены остаются отрицательными, поскольку по модулю они становятся «меньше».

Итоги:

а) $y_{n+1} — y_n > 0$ означает, что последовательность возрастающая.

б) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при $y_n > 0$ означает, что последовательность убывающая.

в) $y_{n+1} — y_n < 0$ означает, что последовательность убывающая.

г) $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ при $y_n < 0$ означает, что последовательность возрастающая (по модулю).