ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности (yn):

а) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

б) $y_n = \operatorname{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right);$

в) $y_n = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{n};$

г) $y_n=\sin n\pi -\cos n\pi$$$

а) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$;

$y_1 = 3 \cos \frac{2\pi}{1} = 3 \cos 2\pi = 3 \cdot 1 = 3;$

$y_2 = 3 \cos \frac{2\pi}{2} = 3 \cos \pi = 3 \cdot (-1) = -3;$

$y_3 = 3 \cos \frac{2\pi}{3} = 3 \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{2};$

$y_4 = 3 \cos \frac{2\pi}{4} = 3 \cos \frac{\pi}{2} = 3 \cdot 0 = 0;$

$y_5 = 3 \cos \frac{2\pi}{5};$

б) $y_n = \operatorname{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right);$

$y_1 = \operatorname{tg} \left( (-1)^1 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1;$

$y_2 = \operatorname{tg} \left( (-1)^2 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1;$

$y_3 = \operatorname{tg} \left( (-1)^3 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1;$

$y_4 = \operatorname{tg} \left( (-1)^4 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1;$

$y_5 = \operatorname{tg} \left( (-1)^5 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1;$

в) $y_n = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{n};$

$y_1 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{1} = 1 — (-1)^2 = 1 — 1 = 0;$

$y_2 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{2} = 1 — 0^2 = 1 — 0 = 1;$

$y_3 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4};$

$y_4 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{4} = 1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$

$y_5 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{5} = \sin^2 \frac{\pi}{5};$

г) $y_n = \sin n\pi — \cos n\pi;$

$y_1 = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1;$

$y_2 = \sin 2\pi — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1;$

$y_3 = \sin 3\pi — \cos 3\pi = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1;$

$y_4 = \sin 4\pi — \cos 4\pi = \sin 2\pi — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1;$

$y_5 = \sin 5\pi — \cos 5\pi = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1;$

а) $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$

Задача состоит в вычислении значений для последовательности $y_n$ по формуле $y_n = 3 \cos \frac{2\pi}{n}$.

Для $n = 1$:

$$y_1 = 3 \cos \frac{2\pi}{1} = 3 \cos 2\pi$$

Мы знаем, что $\cos 2\pi = 1$, так как косинус полной окружности (360 градусов) равен 1.

$$y_1 = 3 \cdot 1 = 3$$

Ответ: $y_1 = 3$.

Для $n = 2$:

$$y_2 = 3 \cos \frac{2\pi}{2} = 3 \cos \pi$$

$\cos \pi = -1$, так как косинус угла $180^\circ$ равен -1.

$$y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$$

Ответ: $y_2 = -3$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = 3 \cos \frac{2\pi}{3} = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)$$

Мы знаем, что $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, так как угол $120^\circ$ в тригонометрической окружности находится во второй четверти, где косинус отрицателен.

$$y_3 = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{2}$$

Ответ: $y_3 = -\frac{3}{2}$.

Для $n = 4$:

$$y_4 = 3 \cos \frac{2\pi}{4} = 3 \cos \frac{\pi}{2}$$

$\cos \frac{\pi}{2} = 0$, так как косинус угла $90^\circ$ равен 0.

$$y_4 = 3 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $y_4 = 0$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = 3 \cos \frac{2\pi}{5}$$

Это выражение не имеет простого значения, его нужно вычислять численно или оставить в виде данного выражения. Ответ: $y_5 = 3 \cos \frac{2\pi}{5}$.

б) $y_n = \operatorname{tg} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} \right)$

В данном случае, последовательность определяется через тангенс, где знак зависит от значения $(-1)^n$, который меняется в зависимости от чётности $n$.

Для $n = 1$:

$$y_1 = \operatorname{tg} \left( (-1)^1 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

Тангенс угла $-\frac{\pi}{4}$ равен -1, так как $\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

$$y_1 = -1$$

Ответ: $y_1 = -1$.

Для $n = 2$:

$$y_2 = \operatorname{tg} \left( (-1)^2 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$.

$$y_2 = 1$$

Ответ: $y_2 = 1$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = \operatorname{tg} \left( (-1)^3 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

Мы уже знаем, что $\operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

$$y_3 = -1$$

Ответ: $y_3 = -1$.

Для $n = 4$:

$$y_4 = \operatorname{tg} \left( (-1)^4 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Тангенс $\frac{\pi}{4}$ опять равен 1.

$$y_4 = 1$$

Ответ: $y_4 = 1$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = \operatorname{tg} \left( (-1)^5 \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

Тангенс угла $-\frac{\pi}{4}$ снова равен -1.

$$y_5 = -1$$

Ответ: $y_5 = -1$.

в) $y_n = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{n}$

В этом случае последовательность определяется через косинус, и выражение преобразуется в $\sin^2 \frac{\pi}{n}$ с использованием тождества $\sin^2 \theta = 1 — \cos^2 \theta$.

Для $n = 1$:

$$y_1 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{1} = 1 — (-1)^2 = 1 — 1 = 0$$

Ответ: $y_1 = 0$.

Для $n = 2$:

$$y_2 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{2} = 1 — 0^2 = 1 — 0 = 1$$

Ответ: $y_2 = 1$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $y_3 = \frac{3}{4}$.

Для $n = 4$:

$$y_4 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{4} = 1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $y_4 = \frac{1}{2}$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = 1 — \cos^2 \frac{\pi}{5} = \sin^2 \frac{\pi}{5}$$

Это выражение не имеет простого аналитического значения, его нужно вычислять численно. Ответ: $y_5 = \sin^2 \frac{\pi}{5}$.

г) $y_n = \sin n\pi — \cos n\pi$

Задача состоит в вычислении последовательности, использующей синус и косинус.

Для $n = 1$:

$$y_1 = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1$$

Ответ: $y_1 = 1$.

Для $n = 2$:

$$y_2 = \sin 2\pi — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1$$

Ответ: $y_2 = -1$.

Для $n = 3$:

$$y_3 = \sin 3\pi — \cos 3\pi = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1$$

Ответ: $y_3 = 1$.

Для $n = 4$:

$$y_4 = \sin 4\pi — \cos 4\pi = \sin 2\pi — \cos 2\pi = 0 — 1 = -1$$

Ответ: $y_4 = -1$.

Для $n = 5$:

$$y_5 = \sin 5\pi — \cos 5\pi = \sin \pi — \cos \pi = 0 + 1 = 1$$

Ответ: $y_5 = 1$.