ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности:

а) $y_n = 5^{-n}$;

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$;

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$;

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

а) $y_n = 5^{-n}$;
$y_{n+1} = 5^{-(n+1)} = 5^{-n-1}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{5^{-n-1}}{5^{-n}} = 5^{-n-1+n} = 5^{-1} = \frac{1}{5} < 1 \ (y_n > 0)$;
$x_{n+1} < x_n$ — последовательность убывает;

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$;
$a_{n+1} = \frac{\pi}{n+1+5} = \frac{\pi}{n+6}$;
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\pi}{n+6} \cdot \frac{n+5}{\pi} = \frac{n+5}{n+6} < 1 \ (a_n > 0)$;
$a_{n+1} < a_n$ — аргумент косинуса убывает;
$y_{n+1} \geqslant y_n$ — последовательность возрастает;

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$;
$y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1)+1} = \frac{2}{3n+3+1} = \frac{2}{3n+4}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{2}{3n+4} \cdot \frac{3n+1}{2} = \frac{3n+1}{3n+4} < 1 \ (y_n > 0)$;
$y_{n+1} < y_n$ — последовательность убывает;

г) $y_n = \sqrt{n+8}$;
$y_{n+1} = \sqrt{n+1+8} = \sqrt{n+9}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{\sqrt{n+9}}{\sqrt{n+8}} = \frac{\sqrt{n+9}}{\sqrt{n+8}} > 1 \ (y_n > 0)$;
$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает;

а) $y_n = 5^{-n}$

Исходная последовательность:

$$y_n = 5^{-n}$$

Это экспоненциальная последовательность с основанием 5 и отрицательным показателем степени. Значение каждого элемента этой последовательности зависит от $n$.

Определим следующий элемент последовательности:

$$y_{n+1} = 5^{-(n+1)} = 5^{-n-1}$$

Для того чтобы найти отношение между следующим и текущим элементом, выразим $y_{n+1}$ через $y_n$.

Вычисление отношения $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{5^{-n-1}}{5^{-n}} = 5^{-n-1+n} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$

Мы видим, что отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{5}$, что меньше 1, и так как $y_n > 0$ (для всех значений $n$), это означает, что последовательность убывает.

Вывод:
Поскольку $\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1}{5} < 1$, то последовательность $y_n$ убывает.

$$y_{n+1} < y_n$$

Это завершается доказательством того, что последовательность убывает.

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$

Исходная последовательность:

$$y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$$

Это последовательность, состоящая из косинусов, где аргумент косинуса зависит от $n$.

Определим следующий элемент последовательности:

$$y_{n+1} = \cos \frac{\pi}{(n+1)+5} = \cos \frac{\pi}{n+6}$$

Для нахождения отношения между $y_{n+1}$ и $y_n$, нам нужно изучить поведение аргумента косинуса.

Вычисление отношения аргументов $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\pi}{n+6} \cdot \frac{n+5}{\pi} = \frac{n+5}{n+6}$$

Видим, что отношение $\frac{n+5}{n+6} < 1$, потому что для всех $n \geq 0$ $n+5 < n+6$. Это означает, что аргумент косинуса убывает.

Исследуем поведение последовательности:
Аргумент косинуса убывает: $\frac{\pi}{n+5} > \frac{\pi}{n+6}$, что означает, что косинус будет возрастать. То есть, $y_{n+1} \geqslant y_n$.

Вывод:
Поскольку аргумент косинуса убывает, и значение косинуса растет с уменьшением аргумента, то последовательность $y_n$ возрастает.

$$y_{n+1} \geqslant y_n$$

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$

Исходная последовательность:

$$y_n = \frac{2}{3n+1}$$

Это дробная последовательность, где знаменатель зависит от $n$.

Определим следующий элемент последовательности:

$$y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1) + 1} = \frac{2}{3n + 3 + 1} = \frac{2}{3n+4}$$

Вычисление отношения $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{2}{3n+4} \cdot \frac{3n+1}{2} = \frac{3n+1}{3n+4}$$

Мы видим, что выражение $\frac{3n+1}{3n+4}$ всегда меньше 1 для всех $n \geq 0$, потому что $3n+1 < 3n+4$.

Вывод:
Поскольку отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$, то последовательность $y_n$ убывает:

$$y_{n+1} < y_n$$

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

Исходная последовательность:

$$y_n = \sqrt{n+8}$$

Это последовательность корней, где аргумент корня зависит от $n$.

Определим следующий элемент последовательности:

$$y_{n+1} = \sqrt{n+9}$$

Вычисление отношения $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{\sqrt{n+9}}{\sqrt{n+8}} = \sqrt{\frac{n+9}{n+8}}$$

Поскольку $\frac{n+9}{n+8} > 1$ для всех $n \geq 0$, то $\sqrt{\frac{n+9}{n+8}} > 1$.

Вывод:
Поскольку отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n} > 1$, последовательность $y_n$ возрастает:

$$y_{n+1} > y_n$$