ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте на монотонность последовательность:

а) $y_n = -2n + 1$;

б) $y_n = 3n^2 + n — 1$;

в) $y_n = \cos \frac{1}{n}$;

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$

а) $y_n = -2n + 1$;
$y_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n — 2 + 1 = -2n — 1$;
$y_{n+1} — y_n = -2n — 1 + 2n — 1 = -2 < 0$;
$y_{n+1} < y_n$ — последовательность убывает;

б) $y_n = 3n^2 + n — 1$;
$y_{n+1} = 3(n+1)^2 + (n+1) — 1$;
$y_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 + n + 1 — 1 = 3n^2 + 7n + 3$;
$y_{n+1} — y_n = 3n^2 + 7n + 3 — 3n^2 — n + 1 = 6n + 4 > 0$;
$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает;

в) $y_n = \cos \frac{1}{n}$;
$a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$;
$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n}{1} = \frac{n}{n+1} < 1$ ($a_n > 0$);
$a_{n+1} < a_n$ — аргумент косинуса убывает;
$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает;

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$;
$y_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 1 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} \cdot \frac{n^2 + 1}{n} = \frac{n^3 + n^2 + (n+1)}{n^3 + 2n^2 + 2n} < 1$ ($y_n > 0$);
$y_{n+1} < y_n$ — последовательность убывает

а) $y_n = -2n + 1$

Вычислим $y_{n+1}$:

$y_n = -2n + 1$ — это выражение для $y_n$. Нам нужно найти аналогичное выражение для $y_{n+1}$, то есть для $y$, когда индекс $n$ увеличен на 1:

$$y_{n+1} = -2(n+1) + 1$$

Раскроем скобки:

$$y_{n+1} = -2n — 2 + 1 = -2n — 1$$

Найдем разницу $y_{n+1} — y_n$:

Теперь вычислим разницу $y_{n+1} — y_n$, чтобы понять, как изменяется последовательность:

$$y_{n+1} — y_n = (-2n — 1) — (-2n + 1)$$

Упростим выражение:

$$y_{n+1} — y_n = -2n — 1 + 2n — 1 = -2$$

Вывод:

Мы получили, что разница $y_{n+1} — y_n = -2$, что отрицательно. Это означает, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, то есть последовательность убывает.

$$y_{n+1} < y_n$$

б) $y_n = 3n^2 + n — 1$

Вычислим $y_{n+1}$:

Дано выражение $y_n = 3n^2 + n — 1$. Для нахождения выражения для $y_{n+1}$ подставим $n+1$ вместо $n$:

$$y_{n+1} = 3(n+1)^2 + (n+1) — 1$$

Раскроем скобки:

$$y_{n+1} = 3(n^2 + 2n + 1) + n + 1 — 1$$

Упростим:

$$y_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 + n + 1 — 1 = 3n^2 + 7n + 3$$

Найдем разницу $y_{n+1} — y_n$:

Теперь вычислим разницу:

$$y_{n+1} — y_n = (3n^2 + 7n + 3) — (3n^2 + n — 1)$$

Упростим:

$$y_{n+1} — y_n = 3n^2 + 7n + 3 — 3n^2 — n + 1 = 6n + 4$$

Мы видим, что разница $6n + 4$ всегда положительна для всех $n \geq 0$, так как $6n + 4 > 0$ для $n \geq 0$.

Вывод:

Поскольку разница $y_{n+1} — y_n > 0$, это означает, что последовательность возрастает:

$$y_{n+1} > y_n$$

в) $y_n = \cos \frac{1}{n}$

Определение $a_n$:

В данном случае мы работаем с функцией $\cos$ от аргумента $\frac{1}{n}$. Для того чтобы проанализировать изменения последовательности, необходимо рассматривать изменения $a_n = \frac{1}{n}$, так как именно от него зависит аргумент косинуса.

Вычислим $a_{n+1}$:

Для нахождения следующего элемента последовательности возьмем $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.

Анализ соотношения $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

Теперь вычислим отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n}{1} = \frac{n}{n+1}$$

Мы видим, что $\frac{n}{n+1} < 1$ для всех $n \geq 1$, поскольку $n < n + 1$.

Вывод для косинуса:

Поскольку $a_{n+1} < a_n$, это означает, что аргумент косинуса убывает. Так как косинус функции убывает на интервале $(0, \pi)$, то:

$$\cos \frac{1}{n} > \cos \frac{1}{n+1}$$

Таким образом, последовательность возрастает:

$$y_{n+1} > y_n$$

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$

Вычислим $y_{n+1}$:

Подставим $n+1$ вместо $n$:

$$y_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1}$$

Раскроем скобки в знаменателе:

$$y_{n+1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 1 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}$$

Найдем отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

Для анализа последовательности найдем отношение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} \cdot \frac{n^2 + 1}{n}$$

Упростим это выражение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{(n+1)(n^2 + 1)}{n(n^2 + 2n + 2)}$$

После упрощения выражения получаем:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{n^3 + n^2 + n + 1}{n^3 + 2n^2 + 2n}$$

Для $n \geq 1$ выражение $\frac{n^3 + n^2 + n + 1}{n^3 + 2n^2 + 2n}$ всегда меньше 1, потому что знаменатель растет быстрее, чем числитель при увеличении $n$. Поэтому:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$$

Вывод:

Поскольку $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$, это означает, что последовательность убывает:

$$y_{n+1} < y_n$$