ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная последовательность возрастает:

а) $y_n = n^3 + 2n$

б) $y_n=\frac{n^2}{n^2+10}$

в) $y_n=\frac{n+6}{n+7}$

г) $y_n=\frac{n^4+3n^2+1}{n^4+3n^2+6}$

а) $y_n = n^3 + 2n$;
$y_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1)$;
$y_{n+1} = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 = n^3 + 3n^2 + 5n + 3$;
$y_{n+1} — y_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 — n^3 — 2n = 3n^2 + 3n + 3 > 0$;
$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает;

б) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10} = \frac{n^2 + 10 — 10}{n^2 + 10} = 1 — \frac{10}{n^2 + 10}$;
$z_{n+1} = (n+1)^2 + 10 = n^2 + 2n + 1 + 10 = n^2 + 2n + 11$;
$z_{n+1} — z_n = n^2 + 2n + 11 — n^2 — 10 = 2n + 1 > 0$;
При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается, а число $y_n$ возрастает;

в) $y_n = \frac{n+6}{n+7} = \frac{n+7-1}{n+7} = 1 — \frac{6}{n+7}$;
$z_{n+1} = (n+1)+7 = n+8$;
$z_{n+1} — z_n = n+8 — n-7 = 1 > 0$;
При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается, а число $y_n$ возрастает;

г) $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6} = \frac{n^4 + 3n^2 + 6 — 5}{n^4 + 3n^2 + 6} = 1 — \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6}$;
$z_{n+1} = (n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6$;
$z_{n+1} = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + 3n^2 + 6n + 3 + 6$;
$z_{n+1} = n^4 + 4n^3 + 9n^2 + 10n + 10$;
$z_{n+1} — z_n = n^4 + 4n^3 + 9n^2 + 10n + 10 — n^4 — 3n^2 — 6$;
$z_{n+1} — z_n = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 4 > 0$;
При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается, а число $y_n$ возрастает

Для каждого случая нужно показать, что последовательность возрастает, что означает, что $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$. Пройдемся по каждому из случаев.

а) $y_n = n^3 + 2n$

Мы должны доказать, что последовательность $y_n = n^3 + 2n$ возрастает, то есть $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$.

Запишем выражение для $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1)$$

Раскроем выражение для $y_{n+1}$:

$$y_{n+1}=(n+1{)}^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+2n+2=$$

$$y_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 = n^3 + 3n^2 + 5n + 3$$

Вычислим разницу $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = (n^3 + 3n^2 + 5n + 3) — (n^3 + 2n) = 3n^2 + 3n + 3$$

Теперь убедимся, что эта разница всегда положительна для всех $n$:

$$3n^2 + 3n + 3 > 0$$

Это выражение является квадратным (с положительными коэффициентами при $n^2$, $n$, и свободном члене), и оно всегда больше нуля для всех $n$, поскольку дискриминант уравнения $3n^2 + 3n + 3 = 0$ отрицателен.

Следовательно, $y_{n+1} > y_n$ для всех $n$, и последовательность возрастает.

б) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10}$

Мы должны доказать, что последовательность $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10}$ возрастает.

Перепишем $y_n$ в другой форме:

$$y_n = 1 — \frac{10}{n^2 + 10}$$

Запишем $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2 + 10} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 2n + 11}$$

Вычислим разницу $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = \left( 1 — \frac{10}{(n+1)^2 + 10} \right) — \left( 1 — \frac{10}{n^2 + 10} \right)$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{10}{n^2 + 10} — \frac{10}{(n+1)^2 + 10}$$

Положительность этой разницы можно доказать через сравнение дробей:

$$\frac{10}{n^2 + 10} > \frac{10}{(n+1)^2 + 10}$$

Это неравенство справедливо, потому что $(n+1)^2 + 10 > n^2 + 10$ для всех $n$, следовательно, дробь с большими знаменателем меньше.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$, и последовательность возрастает.

в) $y_n = \frac{n+6}{n+7}$

Мы должны доказать, что последовательность $y_n = \frac{n+6}{n+7}$ возрастает.

Перепишем $y_n$:

$$y_n = 1 — \frac{6}{n+7}$$

Запишем $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = 1 — \frac{6}{n+8}$$

Вычислим разницу $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = \left( 1 — \frac{6}{n+8} \right) — \left( 1 — \frac{6}{n+7} \right)$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{6}{n+7} — \frac{6}{n+8}$$

Положительность этой разницы:

$$\frac{6}{n+7} > \frac{6}{n+8}$$

Это неравенство справедливо, потому что $n+7 < n+8$, следовательно, дробь с меньшим знаменателем больше.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$, и последовательность возрастает.

г) $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6}$

Мы уже записали $y_n$ в следующем виде:

$$y_n = 1 — \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6}$$

Теперь давайте рассчитаем $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{(n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 1}{(n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6}$$

Раскроем выражения для числителя и знаменателя:

$$(n+1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$$ $$3(n+1)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) = 3n^2 + 6n + 3$$

Теперь подставим эти выражения в числитель и знаменатель $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{n^4 + 4n^3 + 9n^2 + 10n + 10}{n^4 + 4n^3 + 9n^2 + 12n + 12}$$

Теперь вычислим разницу $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = \left( 1 — \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6} \right) — \left( 1 — \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6} \right)$$

Обратите внимание, что разница не является просто нулем. Мы рассмотрели выражения для числителя и знаменателя и увидели, что разница выражается через положительное изменение знаменателя.

Наконец, разница $z_{n+1} — z_n = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 4 > 0$ всегда положительна для всех $n$, поскольку она является полиномиальной функцией с положительными коэффициентами.

Таким образом, $y_{n+1} — y_n$ всегда больше нуля, и последовательность возрастает.