ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная последовательность убывает:

а) $y_n = \frac{3n+5}{3n-1} = \frac{3n-1+6}{3n-1} = 1 + \frac{6}{3n-1};$

б) $y_n = \frac{1}{n^3+2n};$

в) $y_n = \frac{n^2+15}{n^2+2} = \frac{n^2+2+13}{n^2+2} = 1 + \frac{13}{n^2+2};$

г) $y_n=\frac{n^4+2n^2+7}{n^4+2n^2-1}$

а) $y_n = \frac{3n+5}{3n-1} = \frac{3n-1+6}{3n-1} = 1 + \frac{6}{3n-1};$

$z_{n+1} = 3(n+1)-1 = 3n+3-1 = 3n+2;$

$z_{n+1} — z_n = 3n+2 — 3n+1 = 3 > 0;$

При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и число $y_n$ убывает;

б) $y_n = \frac{1}{n^3+2n};$

$z_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1);$

$z_{n+1} = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2 = n^3 + 3n^2 + 5n + 3;$

$z_{n+1} — z_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 — n^3 — 2n = 3n + 3 > 0;$

При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и число $y_n$ убывает;

в) $y_n = \frac{n^2+15}{n^2+2} = \frac{n^2+2+13}{n^2+2} = 1 + \frac{13}{n^2+2};$

$z_{n+1} = (n+1)^2 + 2 = n^2 + 2n + 1 + 2 = n^2 + 2n + 3;$

$z_{n+1} — z_n = n^2 + 2n + 3 — n^2 — 2 = 2n + 1 > 0;$

При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и число $y_n$ убывает;

г) $y_n = \frac{n^4+2n^2+7}{n^4+2n^2-1} = \frac{n^4+2n^2-1+8}{n^4+2n^2-1} = 1 + \frac{8}{n^4+2n^2-1};$

$z_{n+1} = (n+1)^4 + 2(n+1)^2 — 1;$

$z_{n+1} = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + 2n^2 + 4n + 2 — 1;$

$z_{n+1} = n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2;$

$z_{n+1} — z_n = n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2 — n^4 — 2n^2 + 1;$

$z_{n+1} — z_n = 4n^3 + 6n^2 + 8n + 3 > 0;$

При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и число $y_n$ убывает

Чтобы доказать, что последовательность убывает, нам необходимо показать, что её члены $y_n$ для всех $n$ выполняют неравенство

$$y_{n+1} < y_n$$

для всех $n$, где $n$ — натуральное число, и тем самым доказать, что последовательность убывает.

Допустим, нам дана некоторая последовательность $y_n$, которая выражается как дробь, например, $y_n = \frac{a_n}{b_n}$, где $a_n$ и $b_n$ — некоторые функции от $n$, зависящие от $n$.

Шаги для доказательства

Определение последовательности $y_n$ и $y_{n+1}$:

• Выражаем общий член последовательности $y_n$ через дробь или функцию.
• Записываем следующий член последовательности $y_{n+1}$ (для $n+1$).

Вывод неравенства для $y_{n+1} — y_n$:

• Вычисляем разность $y_{n+1} — y_n$ и получаем выражение, которое зависит от $n$.
• Убедимся, что эта разность отрицательна для всех $n$, что будет означать, что $y_{n+1} < y_n$.

Интерпретация результата:

• Рассматриваем полученную разность, доказываем, что она отрицательна, а значит, последовательность убывает.

а)

Посмотрим на последовательность

$$y_n = \frac{3n+5}{3n-1}$$

Представим её в более удобной форме:

$$y_n = 1 + \frac{6}{3n-1}$$

Следовательно, для $y_{n+1}$ будет:

$$y_{n+1} = 1 + \frac{6}{3(n+1)-1} = 1 + \frac{6}{3n+2}$$

Нам нужно доказать, что $y_{n+1} < y_n$, или, другими словами,

$$1 + \frac{6}{3n+2} < 1 + \frac{6}{3n-1}$$

Это упрощается до:

$$\frac{6}{3n+2} < \frac{6}{3n-1}$$

Так как $3n-1 > 3n+2$ для всех $n \geq 1$, то

$$\frac{6}{3n+2} < \frac{6}{3n-1}$$

Следовательно, $y_{n+1} < y_n$, и последовательность убывает.

б)

Теперь рассмотрим последовательность

$$y_n = \frac{1}{n^3 + 2n}$$

Для $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^3 + 2(n+1)}$$

Раскроем скобки:

$$y_{n+1} = \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2} = \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 5n + 3}$$

Теперь докажем, что $y_{n+1} < y_n$. То есть, нам нужно показать:

$$\frac{1}{n^3 + 3n^2 + 5n + 3} < \frac{1}{n^3 + 2n}$$

Это эквивалентно:

$$n^3 + 2n < n^3 + 3n^2 + 5n + 3$$

После сокращения $n^3$ получаем:

$$2n < 3n^2 + 5n + 3$$

Преобразуем это неравенство:

$$0 < 3n^2 + 3n + 3$$

Это неравенство выполняется для всех $n \geq 1$, значит последовательность убывает.

в)

Для последовательности

$$y_n = \frac{n^2 + 15}{n^2 + 2}$$

Представим её в виде:

$$y_n = 1 + \frac{13}{n^2 + 2}$$

Для $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = 1 + \frac{13}{(n+1)^2 + 2}$$

Раскроем скобки для $n+1$:

$$y_{n+1} = 1 + \frac{13}{n^2 + 2n + 1 + 2} = 1 + \frac{13}{n^2 + 2n + 3}$$

Теперь покажем, что $y_{n+1} < y_n$. То есть, нужно доказать:

$$1 + \frac{13}{n^2 + 2n + 3} < 1 + \frac{13}{n^2 + 2}$$

Сокращаем единицы:

$$\frac{13}{n^2 + 2n + 3} < \frac{13}{n^2 + 2}$$

Это эквивалентно:

$$n^2 + 2 < n^2 + 2n + 3$$

После сокращения $n^2$ получаем:

$$2 < 2n + 3$$

Преобразуем:

$$-1 < 2n$$

Это неравенство верно для всех $n \geq 1$, следовательно, последовательность убывает.

г)

Для последовательности

$$y_n = \frac{n^4 + 2n^2 + 7}{n^4 + 2n^2 — 1}$$

Представим её в виде:

$$y_n = 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 — 1}$$

Для $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = 1 + \frac{8}{(n+1)^4 + 2(n+1)^2 — 1}$$

Раскроем скобки для $(n+1)^4$ и $2(n+1)^2$:

$$y_{n+1}=1+\frac{8}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1+2n^2+4n+2-1}=$$

$$y_{n+1} = 1 + \frac{8}{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + 2n^2 + 4n + 2 — 1} = 1 + \frac{8}{n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2}$$

Теперь покажем, что $y_{n+1} < y_n$. То есть нужно доказать:

$$1 + \frac{8}{n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2} < 1 + \frac{8}{n^4 + 2n^2 — 1}$$

Сокращаем единицы:

$$\frac{8}{n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2} < \frac{8}{n^4 + 2n^2 — 1}$$

Это эквивалентно:

$$n^4 + 2n^2 — 1 < n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2$$

После сокращения $n^4$ получаем:

$$2n^2 — 1 < 4n^3 + 8n^2 + 8n + 2$$

Преобразуем:

$$0 < 4n^3 + 6n^2 + 8n + 3$$

Это неравенство выполняется для всех $n \geq 1$, следовательно, последовательность убывает.