ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Если ($x_n$) — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности ($y_n$):

а) $y_n = 5x_n + 7$;

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n}$;

в) $y_n = 2 — 3x_n$;

г) $y_n = (x_n)^2 + 2$

$(x_n)$ — ограниченная возрастающая последовательность, все члены которой являются положительными числами;

а) $y_n = 5x_n + 7$;

$x_{n+1} > x_n$;

$5x_{n+1} > 5x_n$;

$5x_{n+1} + 7 > 5x_n + 7$;

$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает;

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n}$;

$x_{n+1} > x_n$;

$3 + x_{n+1} > 3 + x_n$;

$\frac{7}{3 + x_{n+1}} < \frac{7}{3 + x_n}$;

$y_{n+1} < y_n$ — последовательность убывает;

в) $y_n = 2 — 3x_n$;

$x_{n+1} > x_n$;

$-3x_{n+1} < -3x_n$;

$2 — 3x_{n+1} < 2 — 3x_n$;

$y_{n+1} < y_n$ — последовательность убывает;

г) $y_n = (x_n)^2 + 2$;

$x_{n+1} > x_n$;

$(x_{n+1})^2 > (x_n)^2$;

$(x_{n+1})^2 + 2 > (x_n)^2 + 2$;

$y_{n+1} > y_n$ — последовательность возрастает

1. Формулировка задачи:

Нам дана последовательность $(x_n)$, которая является возрастающей и состоит из положительных чисел, то есть:

$$x_{n+1} > x_n \quad \text{для всех} \, n.$$

Необходимо изучить монотонность последовательности $(y_n)$, которая определяется некоторыми функциями от $x_n$.

2. Влияние функции на монотонность:

Пусть $y_n = f(x_n)$, где $f$ — некоторая функция от $x_n$. Монотонность последовательности $(y_n)$ зависит от того, как изменяется функция $f$ при увеличении $x_n$, то есть от знака производной функции $f'(x)$.

Примечание:

• Если $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ возрастает, и, следовательно, последовательность $(y_n)$ также будет возрастать.
• Если $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ убывает, и, следовательно, последовательность $(y_n)$ будет убывать.
• Если $f'(x) = 0$, то функция $f(x)$ постоянна, и последовательность $(y_n)$ будет постоянной.

3. Рассмотрим несколько примеров для функции $f(x)$:

a) Линейная функция: $y_n = 5x_n + 7$

В этом случае функция $f(x) = 5x + 7$ является линейной, с положительным коэффициентом при $x$. Поскольку производная линейной функции:

$$f'(x) = 5 > 0,$$

то функция $f(x) = 5x + 7$ возрастает на всей своей области определения. Поскольку $x_n$ возрастает, то последовательность $(y_n)$ также будет возрастать:

$$y_{n+1} = 5x_{n+1} + 7 > 5x_n + 7 = y_n.$$

Следовательно, последовательность $(y_n)$ возрастает.

б) Обратная функция: $y_n = \frac{7}{3 + x_n}$

Здесь $f(x) = \frac{7}{3 + x}$. Для анализа монотонности рассмотрим производную этой функции:

$$f'(x) = -\frac{7}{(3 + x)^2} < 0.$$

Так как производная отрицательна, функция $f(x) = \frac{7}{3 + x}$ убывает. Поскольку $x_n$ возрастает, то последовательность $(y_n)$ будет убывать:

$$y_{n+1} = \frac{7}{3 + x_{n+1}} < \frac{7}{3 + x_n} = y_n.$$

Следовательно, последовательность $(y_n)$ убывает.

в) Линейная функция с отрицательным коэффициентом: $y_n = 2 — 3x_n$

В данном случае функция $f(x) = 2 — 3x$. Проводим анализ производной:

$$f'(x) = -3 < 0.$$

Так как производная отрицательна, функция $f(x) = 2 — 3x$ убывает. Поскольку $x_n$ возрастает, то последовательность $(y_n)$ будет убывать:

$$y_{n+1} = 2 — 3x_{n+1} < 2 — 3x_n = y_n.$$

Следовательно, последовательность $(y_n)$ убывает.

г) Квадратичная функция: $y_n = x_n^2 + 2$

Здесь $f(x) = x^2 + 2$. Рассмотрим производную этой функции:

$$f'(x) = 2x > 0 \quad \text{для} \, x > 0.$$

Так как производная положительна для всех $x > 0$, функция $f(x) = x^2 + 2$ возрастает. Поскольку $x_n$ возрастает, то последовательность $(y_n)$ будет возрастать:

$$y_{n+1} = (x_{n+1})^2 + 2 > (x_n)^2 + 2 = y_n.$$

Следовательно, последовательность $(y_n)$ возрастает.

4. Обобщение:

Из рассмотренных примеров можно сделать общее правило для монотонности последовательности $(y_n)$, если последовательность $(x_n)$ является возрастающей с положительными членами:

• Если функция $f(x)$, определяющая последовательность $(y_n)$, возрастает на области положительных чисел (то есть, $f'(x) > 0$ для всех $x > 0$), то последовательность $(y_n)$ будет возрастать.
• Если функция $f(x)$ убывает на области положительных чисел (то есть, $f'(x) < 0$ для всех $x > 0$), то последовательность $(y_n)$ будет убывать.

5. Заключение:

Таким образом, монотонность последовательности $(y_n)$ зависит от функции $f(x)$, которая определяет $y_n$. Если функция возрастает, то последовательность $(y_n)$ будет возрастать, если убывает — то последовательность $(y_n)$ будет убывать.