ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра р последовательность ($y_n$) будет возрастающей:

а) $y_n = pn — 5$;

б) $y_n = -\frac{p-1}{n}$;

в) $y_n = 2 — pn$;

г) $y_n = \frac{p+2}{n+1}$

а) $y_n = pn — 5$;
$y_{n+1} = p(n + 1) — 5 = pn + p — 5$;
$y_{n+1} — y_n = pn + p — 5 — pn + 5 = p$;
Последовательность возрастает при:
$p > 0$;

б) $y_n = -\frac{p-1}{n}$;
$y_{n+1} = -\frac{p-1}{n+1}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = -\frac{p-1}{n+1} \cdot \left( -\frac{n}{p-1} \right) = \frac{n}{n+1} < 1$;
Последовательность возрастает при:
$y_n < 0$, то есть $p — 1 > 0$, отсюда $p > 1$;

в) $y_n = 2 — pn$;
$y_{n+1} = 2 — p(n + 1) = 2 — pn — p$;
$y_{n+1} — y_n = 2 — pn — p — 2 + pn = -p$;
Последовательность возрастает при:
$-p > 0$, отсюда $p < 0$;

г) $y_n = \frac{p+2}{n+1}$;
$y_{n+1} = \frac{p+2}{(n+1)+1} = \frac{p+2}{n+2}$;
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{p+2}{n+2} \cdot \frac{n+1}{p+2} = \frac{n+1}{n+2} < 1$;
Последовательность возрастает при:
$y_n < 0$, то есть $p + 2 < 0$, отсюда $p < -2$

Для того чтобы последовательность $(y_n)$ была возрастающей, необходимо, чтобы разность $y_{n+1} — y_n > 0$ для всех $n$, то есть каждый следующий элемент последовательности должен быть больше предыдущего.

а) $y_n = pn — 5$

Вычислим значение $y_{n+1}$:

$y_n = pn — 5$ — это формула для $n$-го члена последовательности. Чтобы найти $y_{n+1}$, подставим $n + 1$ вместо $n$:

$$y_{n+1} = p(n + 1) — 5 = pn + p — 5$$

Вычислим разность $y_{n+1} — y_n$:

Теперь найдём разность между $y_{n+1}$ и $y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = (pn + p — 5) — (pn — 5)$$

Упростим выражение:

$$y_{n+1} — y_n = pn + p — 5 — pn + 5 = p$$

Для возрастающей последовательности необходимо, чтобы $y_{n+1} — y_n > 0$:

Это условие преобразуется в неравенство:

$$p > 0$$

Таким образом, последовательность $(y_n)$ будет возрастающей при $p > 0$.

б) $y_n = -\frac{p-1}{n}$

Вычислим значение $y_{n+1}$:

Формула для $n$-го члена последовательности $y_n$ дана как $y_n = -\frac{p-1}{n}$. Теперь найдём $y_{n+1}$, подставив $n + 1$ вместо $n$:

$$y_{n+1} = -\frac{p-1}{n+1}$$

Найдем отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

Для того чтобы последовательность была возрастающей, нам нужно изучить поведение отношения $\frac{y_{n+1}}{y_n}$. Подставим выражения для $y_{n+1}$ и $y_n$:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = -\frac{p-1}{n+1} \cdot \left( -\frac{n}{p-1} \right)$$

Упростим это выражение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{n}{n+1}$$

Условие для возрастающей последовательности:

Чтобы последовательность была возрастающей, нам нужно, чтобы:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$$

Но $\frac{n}{n+1} < 1$ всегда верно, независимо от значения $n$. Следовательно, нам нужно только, чтобы $y_n < 0$ для всех $n$, а это условие выполнится, если $p — 1 > 0$, то есть $p > 1$.

Таким образом, последовательность будет возрастающей при $p > 1$.

в) $y_n = 2 — pn$

Вычислим значение $y_{n+1}$:

Формула для $n$-го члена последовательности $y_n = 2 — pn$. Теперь найдём $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = 2 — p(n + 1) = 2 — pn — p$$

Вычислим разность $y_{n+1} — y_n$:

Теперь найдём разность между $y_{n+1}$ и $y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = (2 — pn — p) — (2 — pn)$$

Упростим это выражение:

$$y_{n+1} — y_n = 2 — pn — p — 2 + pn = -p$$

Условие для возрастающей последовательности:

Для того чтобы последовательность была возрастающей, необходимо, чтобы разность была больше нуля:

$$-p > 0$$

Это неравенство выполняется, если $p < 0$.

Таким образом, последовательность будет возрастающей при $p < 0$.

г) $y_n = \frac{p+2}{n+1}$

Вычислим значение $y_{n+1}$:

Формула для $n$-го члена последовательности $y_n = \frac{p+2}{n+1}$. Теперь найдём $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{p+2}{n+2}$$

Найдем отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

Для того чтобы последовательность была возрастающей, нам нужно изучить отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{p+2}{n+2} \cdot \frac{n+1}{p+2}$$

Упростим это выражение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{n+1}{n+2}$$

Условие для возрастающей последовательности:

Для того чтобы последовательность была возрастающей, необходимо, чтобы:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$$

Это условие выполняется всегда, так как $\frac{n+1}{n+2} < 1$ для всех $n$.

Однако нужно, чтобы $y_n < 0$ для всех $n$, а это выполняется, если $p + 2 < 0$, то есть $p < -2$.

Таким образом, последовательность будет возрастающей при $p < -2$.

Итог:

• Для последовательности $y_n = pn — 5$ последовательность будет возрастающей при $p > 0$.
• Для последовательности $y_n = -\frac{p-1}{n}$ последовательность будет возрастающей при $p > 1$.
• Для последовательности $y_n = 2 — pn$ последовательность будет возрастающей при $p < 0$.
• Для последовательности $y_n = \frac{p+2}{n+1}$ последовательность будет возрастающей при $p < -2$.