ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра р последовательность ($y_n$) будет убывающей:

а) $y_n = \frac{2}{pn}$

б) $y_n=\frac{pn+2}{pn+3}$

в) $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}}$

г) $y_n=\frac{5n^2-p}{n^2}$

а) $y_n = \frac{2}{pn}$;

$y_{n+1} = \frac{2}{p(n+1)}$;

$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{\frac{2}{p(n+1)}}{\frac{2}{pn}} = \frac{2}{p(n+1)} \cdot \frac{pn}{2} = \frac{n}{n+1} < 1$;

Последовательность убывает при:

$y_n > 0$, то есть $p > 0$;

б) $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3} = \frac{pn + 3 — 1}{pn + 3} = 1 — \frac{1}{pn + 3}$;

Последовательность убывает, если знаменатель убывает:

$z_{n+1} = p(n+1) + 3 = pn + p + 3$;

$z_{n+1} — z_n = pn + p + 3 — pn — 3 = p$;

Знаменатель убывает при:

$p < 0$;

в) $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}}$;

$a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$;

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} < 1$ (при $a_n > 0$);

$a_{n+1} < a_n$ — аргумент синуса и его значение убывают;

Модуль дроби возрастает, то есть $\frac{y_{n+1}}{y_n} > 1$;

Значит последовательность убывает при:

$p < 0$;

г) $y_n = \frac{5n^2 — p}{n^2} = 5 — \frac{p}{n^2}$;

Последовательность убывает, если дробь $\frac{p}{n^2}$ возрастает:

$d_{n+1} = \frac{p}{(n+1)^2} = \frac{p}{n^2 + 2n + 1}$;

$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\frac{p}{n^2 + 2n + 1}}{\frac{p}{n^2}} = \frac{p}{n^2 + 2n + 1} \cdot \frac{n^2}{p} = \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} < 1$;

Последовательность $d_n = \frac{p}{n^2}$ возрастает при:

$y_n < 0$, то есть $p < 0$

а) $y_n = \frac{2}{pn}$

Шаг 1: Определим выражение для последовательности $y_n$ и $y_{n+1}$

Для начала выразим $y_n$ и $y_{n+1}$:

$$y_n = \frac{2}{pn}, \quad y_{n+1} = \frac{2}{p(n+1)}$$

Шаг 2: Найдем отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$

Теперь, чтобы понять, будет ли последовательность убывающей, рассмотрим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$, так как последовательность убывает, если это отношение меньше 1:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{\frac{2}{p(n+1)}}{\frac{2}{pn}} = \frac{2}{p(n+1)} \cdot \frac{pn}{2} = \frac{n}{n+1}$$

Это выражение показывает, как изменяется последовательность от одного члена к следующему.

Шаг 3: Анализ отношения

Теперь анализируем результат:

$$\frac{n}{n+1}$$

Поскольку для всех $n$ выполняется неравенство $\frac{n}{n+1} < 1$, то $\frac{y_{n+1}}{y_n} < 1$ для всех $n$, и последовательность будет убывать при условии, что $y_n > 0$.

Шаг 4: Условия для $y_n > 0$

Чтобы $y_n > 0$, необходимо, чтобы $p > 0$, так как $y_n = \frac{2}{pn}$ будет положительным, если $p > 0$ и $n > 0$.

Ответ для пункта а:

Последовательность будет убывающей при $p > 0$.

б) $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3}$

Шаг 1: Преобразуем выражение для $y_n$

Представим $y_n$ в более удобной форме:

$$y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3} = 1 — \frac{1}{pn + 3}$$

Это показывает, что последовательность зависит от выражения $\frac{1}{pn + 3}$.

Шаг 2: Рассмотрим $y_{n+1}$

Теперь рассмотрим следующий элемент последовательности $y_{n+1}$:

$$y_{n+1} = \frac{p(n+1) + 2}{p(n+1) + 3} = 1 — \frac{1}{p(n+1) + 3}$$

Шаг 3: Анализ последовательности

Для того чтобы последовательность была убывающей, необходимо, чтобы знаменатель $pn + 3$ возрастал, то есть для каждого $n$ выполнялось условие:

$$pn + 3 < p(n+1) + 3$$

Просто уберем константы из обоих выражений:

$$pn < p(n+1)$$ $$pn < pn + p$$ $$0 < p$$

Таким образом, знаменатель увеличивается при $p > 0$, и следовательно, последовательность убывает при $p < 0$, так как знаменатель будет убывать при $p < 0$.

Ответ для пункта б:

Последовательность будет убывающей при $p < 0$.

в) $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}}$

Шаг 1: Рассмотрим выражение для $y_n$

Последовательность задана как $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}}$.

Шаг 2: Рассмотрим отношение $\frac{y_{n+1}}{y_n}$

Рассмотрим $y_{n+1} = \frac{p}{\sin \frac{1}{n+1}}$, тогда отношение:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{\frac{p}{\sin \frac{1}{n+1}}}{\frac{p}{\sin \frac{1}{n}}} = \frac{\sin \frac{1}{n}}{\sin \frac{1}{n+1}}$$

Шаг 3: Анализ отношения

Заметим, что $\frac{1}{n}$ убывает с увеличением $n$, и $\sin \frac{1}{n}$ будет также убывать, так как синус монотонно увеличивается при увеличении аргумента. Следовательно, $\sin \frac{1}{n+1} < \sin \frac{1}{n}$, и это означает, что $\frac{y_{n+1}}{y_n} > 1$.

Шаг 4: Условия для убывания

Если $\frac{y_{n+1}}{y_n} > 1$, то последовательность возрастает. Таким образом, чтобы последовательность была убывающей, должно выполняться условие:

$$p < 0$$

Ответ для пункта в:

Последовательность будет убывающей при $p < 0$.

г) $y_n = \frac{5n^2 — p}{n^2}$

Шаг 1: Представление последовательности

Перепишем $y_n$ в виде:

$$y_n = 5 — \frac{p}{n^2}$$

Здесь видно, что последовательность зависит от выражения $\frac{p}{n^2}$.

Шаг 2: Рассмотрим $y_{n+1}$

Теперь рассмотрим следующий член последовательности:

$$y_{n+1} = 5 — \frac{p}{(n+1)^2}$$

Шаг 3: Условие для убывания

Чтобы последовательность была убывающей, необходимо, чтобы дробь $\frac{p}{n^2}$ возрастала, то есть:

$$\frac{p}{n^2} < \frac{p}{(n+1)^2}$$

Это неравенство справедливо, если $p < 0$, так как $\frac{1}{n^2}$ возрастает, если $n$ увеличивается.

Ответ для пункта г:

Последовательность будет убывающей при $p < 0$.

Итоговые ответы:

а) $p > 0$

б) $p < 0$

в) $p < 0$

г) $p < 0$