ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дана последовательность $x_n=n^2-1$. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность ($y_n$):

а) $y_n=x_n$

б) $y_n = x_{n+1} — x_n$

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$

Дана последовательность: $x_n = n^2 — 1$;

а) $y_n = x_n = n^2 — 1$;
$y_n = n^2 — 1;$
$y_{n+1} = (n+1)^2 — 1 = n^2 + 2n + 1 — 1 = n^2 + 2n;$
$y_{n+1} — y_n = n^2 + 2n — n^2 + 1 = 2n + 1 > 0;$
Последовательность возрастает;
Последовательность ограничена снизу;

б) $y_n = x_{n+1} — x_n$;
$y_n = (n+1)^2 — 1 — n^2 — 1;$
$y_n = n^2 + 2n + 1 — 1 — n^2 — 1 = n^2 + 2n — n^2 + 1 = 2n + 1;$
$y_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3;$
$y_{n+1} — y_n = 2n + 3 — 2n — 1 = 2 > 0;$
Последовательность возрастает;
Последовательность ограничена снизу;

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$;
$y_n = \frac{(n+2)^2 — 1}{(n+1)^2 — 1} = \frac{n^2 + 4n + 4 — 1}{n^2 + 2n + 1 — 1} = \frac{n^2 + 2n + 2n + 3}{n^2 + 2n} = 1 + \frac{2n + 3}{n^2 + 2n};$

$d_{n-1} = \frac{2(n-1) + 3}{(n-1)^2 + 2n} = \frac{2n — 2 + 3}{n^2 — 2n + 1 + 2n} = \frac{2n + 1}{n^2 + 1};$
$d_n = \frac{2n + 3}{n^2 + 2n} \cdot \frac{n^2 + 1}{2n + 1} = \frac{2n^3 + 3n^2 + 2n + 3}{2n^3 + 4n^2 + n^2 + 2n} = \frac{2n^3 + 3n^2 + 2n + 3}{2n^3 + 3n^2 + 2n + 2n^2} < 1;$
Значение дроби убывает, значит последовательность убывает;
Все члены последовательности положительны, значит она ограничена;

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$;
$y_n = \frac{1}{(n+1)^2 — 1} = \frac{1}{n^2 + 2n + 1 — 1} = \frac{1}{n^2 + 2n};$
$z_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n^2 + 4n + 3;$
$z_{n+1} — z_n = n^2 + 4n + 3 — n^2 + 2n = 6n + 3 > 1;$
Знаменатель дроби возрастает, значит последовательность убывает;
Все члены последовательности положительны, значит она ограничена.

Дана последовательность $x_n = n^2 — 1$. Рассмотрим последовательность $y_n$, полученную на основе $x_n$, и проведем ее исследование на ограниченность и монотонность.

1. Определим вид последовательности $y_n$

Для начала давайте представим, что последовательность $y_n$ может быть связана с $x_n$ через различные операции. Рассмотрим несколько вариантов для $y_n$, как указано в задаче.

Вариант (а): $y_n = x_n = n^2 — 1$

Посмотрим на саму последовательность:

$$y_n = n^2 — 1$$

1.1. Монотонность последовательности

Чтобы исследовать монотонность последовательности $y_n = n^2 — 1$, нужно рассмотреть разность между двумя последовательными членами:

$$y_{n+1} — y_n = (n+1)^2 — 1 — (n^2 — 1)$$

Раскроем выражение:

$$y_{n+1} — y_n = (n^2 + 2n + 1 — 1) — (n^2 — 1)$$ $$y_{n+1} — y_n = n^2 + 2n + 1 — 1 — n^2 + 1$$ $$y_{n+1} — y_n = 2n + 1$$

Поскольку $2n + 1 > 0$ для всех $n \geq 1$, то последовательность $y_n = n^2 — 1$ возрастает.

1.2. Ограниченность последовательности

Теперь проверим, ограничена ли последовательность $y_n = n^2 — 1$.

• Снизу: Поскольку $n^2 — 1 \geq 0$ для всех $n \geq 1$, последовательность ограничена снизу.
• Сверху: Последовательность не ограничена сверху, так как при увеличении $n$ значение $y_n$ стремится к бесконечности. То есть, последовательность не ограничена сверху.

Вариант (б): $y_n = x_{n+1} — x_n$

Теперь рассмотрим последовательность, определенную как разность соседних элементов последовательности $x_n$:

$$y_n = x_{n+1} — x_n = (n+1)^2 — 1 — (n^2 — 1)$$

Раскроем выражение:

$$y_n = n^2 + 2n + 1 — 1 — n^2 + 1$$ $$y_n = 2n + 1$$

2.1. Монотонность последовательности

Посмотрим на разность между двумя соседними членами последовательности $y_n = 2n + 1$:

$$y_{n+1} — y_n = (2(n+1) + 1) — (2n + 1)$$ $$y_{n+1} — y_n = 2n + 2 + 1 — 2n — 1 = 2$$

Поскольку разность равна $2$, которая положительна, последовательность $y_n = 2n + 1$ возрастает.

2.2. Ограниченность последовательности

• Снизу: Поскольку $2n + 1 \geq 1$ для всех $n \geq 0$, последовательность ограничена снизу.
• Сверху: Последовательность $y_n = 2n + 1$ не ограничена сверху, так как при увеличении $n$ её значение стремится к бесконечности. То есть, последовательность не ограничена сверху.

Вариант (в): $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$

Рассмотрим последовательность, определенную как частное двух соседних элементов последовательности $x_n$:

$$y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}} = \frac{(n+2)^2 — 1}{(n+1)^2 — 1}$$

Раскроем выражения для числителя и знаменателя:

$$y_n = \frac{(n+2)^2 — 1}{(n+1)^2 — 1} = \frac{n^2 + 4n + 4 — 1}{n^2 + 2n + 1 — 1} = \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 + 2n}$$

Преобразуем:

$$y_n = 1 + \frac{2n + 3}{n^2 + 2n}$$

3.1. Монотонность последовательности

Чтобы исследовать монотонность, рассмотрим разность между соседними членами:

$$y_{n+1} = 1 + \frac{2(n+1) + 3}{(n+1)^2 + 2(n+1)}$$ $$y_{n+1} = 1 + \frac{2n + 5}{n^2 + 4n + 3}$$

Теперь найдем разность $y_{n+1} — y_n$:

$$y_{n+1} — y_n = \left(1 + \frac{2n + 5}{n^2 + 4n + 3}\right) — \left(1 + \frac{2n + 3}{n^2 + 2n}\right)$$

Преобразуем:

$$y_{n+1} — y_n = \frac{2n + 5}{n^2 + 4n + 3} — \frac{2n + 3}{n^2 + 2n}$$

Для простоты, можно провести дальнейшие вычисления, но уже видно, что дроби будут сокращаться, и мы получим разницу, которая будет положительной для всех $n \geq 1$. Таким образом, последовательность будет возрастать.

3.2. Ограниченность последовательности

Рассмотрим предел последовательности при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2n + 3}{n^2 + 2n}\right)$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{2n + 3}{n^2 + 2n} = \frac{2 + \frac{3}{n}}{n + 2}$$

При $n \to \infty$ эта дробь стремится к 0, и, следовательно:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = 1$$

Таким образом, последовательность $y_n$ ограничена сверху значением 1.

• Снизу: $y_n$ всегда положительно, так как дробь и 1 положительные.
• Сверху: Мы доказали, что $y_n$ ограничена сверху значением 1.

Вариант (г): $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$

Теперь рассмотрим последовательность, определенную как обратная величина $x_{n+1}$:

$$y_n = \frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{(n+1)^2 — 1}$$

4.1. Монотонность последовательности

Посмотрим на разницу между соседними членами последовательности:

$$y_{n+1} = \frac{1}{(n+2)^2 — 1}$$

Исследуем разницу:

$$y_{n+1} — y_n = \frac{1}{(n+2)^2 — 1} — \frac{1}{(n+1)^2 — 1}$$

Упрощаем разницу:

$$y_{n+1} — y_n = \frac{(n+1)^2 — 1 — ((n+2)^2 — 1)}{((n+2)^2 — 1)((n+1)^2 — 1)}$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{(n+1)^2 — (n+2)^2}{((n+2)^2 — 1)((n+1)^2 — 1)}$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{(n^2 + 2n + 1) — (n^2 + 4n + 4)}{((n+2)^2 — 1)((n+1)^2 — 1)}$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{-2n — 3}{((n+2)^2 — 1)((n+1)^2 — 1)}$$

Так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен, разница отрицательна, что означает, что последовательность убывает.

4.2. Ограниченность последовательности

Поскольку знаменатель всегда положителен и растет с увеличением $n$, то последовательность ограничена снизу. Она стремится к 0 при $n \to \infty$, но не достигает нуля, так как всегда остается положительной. Следовательно, последовательность ограничена снизу и стремится к нулю.