ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.58 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте последовательность ($x_n$) на ограниченность и монотонность:

а) $x_n=\frac{n}{n+2}$

б) $x_n=\frac{n^2+1}{n^2}$

а) $x_n = \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1 — \frac{2}{n+2};$

$z_{n+1} = (n+1) + 2 = n+3;$

$z_{n+1} — z_n = n+3 — n-2 = 1 > 0;$

1. При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и последовательность возрастает;
2. Знаменатель всегда больше числителя, значит последовательность ограничена: $x_{min} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ и $x_{m\mathrm{ax}}$ = 1;

Ответ: возрастает; ограничена.

б) $x_n = \frac{n^2+1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2};$

$z_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1;$

$z_{n+1} — z_n = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1 > 0;$

1. При увеличении числа $n$ знаменатель дроби увеличивается, значит сама дробь уменьшается и последовательность убывает;
2. Все члены последовательности больше нуля, значит она ограничена;

Ответ: убывает; ограничена.

а)

$x_n = \frac{n}{n+2}$

Исследуем монотонность:

Для того чтобы понять, возрастает или убывает последовательность, нам нужно исследовать поведение разности $x_{n+1} — x_n$.

Найдём выражение для разности $x_{n+1} — x_n$:

• $x_n = \frac{n}{n+2}$
• $x_{n+1} = \frac{n+1}{n+3}$

Теперь найдём разницу:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{n+1}{n+3} — \frac{n}{n+2}$$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{(n+1)(n+2) — n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{(n^2 + 3n + 2) — (n^2 + 3n)}{(n+3)(n+2)}$$ $$x_{n+1} — x_n = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$$

Поскольку $(n+3)(n+2)$ всегда положительно для $n \geq 0$, то $x_{n+1} — x_n > 0$ для всех $n \geq 0$.

Вывод по монотонности:
Поскольку разность $x_{n+1} — x_n > 0$, последовательность $x_n$ является возрастающей.

Исследуем ограниченность:

Для того чтобы доказать ограниченность последовательности, необходимо найти её верхнюю и нижнюю границу.

Нижняя граница:
Рассмотрим предел последовательности при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} = 1$$

Следовательно, последовательность стремится к 1, но не превышает её.

Однако, для любых конечных $n$, $x_n = \frac{n}{n+2}$ всегда будет строго меньше 1. Таким образом, верхняя граница последовательности — это 1.

Верхняя граница:
Рассмотрим значение последовательности для $n = 0$:

$$x_0 = \frac{0}{0+2} = 0$$

Следовательно, последовательность начинается с 0 и всегда больше 0, так как она возрастает.

Таким образом, нижняя граница последовательности — это 0.

Вывод по ограниченности:
Последовательность $x_n$ ограничена снизу 0 и сверху 1, то есть $0 \leq x_n \leq 1$ для всех $n$.

б)

$x_n = \frac{n^2+1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2}$

Исследуем монотонность:

Нам нужно исследовать разность $x_{n+1} — x_n$.

Найдём выражение для разности $x_{n+1} — x_n$:

• $x_n = 1 + \frac{1}{n^2}$
• $x_{n+1} = 1 + \frac{1}{(n+1)^2}$

Теперь найдём разницу:

$$x_{n+1} — x_n = \left( 1 + \frac{1}{(n+1)^2} \right) — \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)$$ $$x_{n+1} — x_n = \frac{1}{(n+1)^2} — \frac{1}{n^2}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{n^2 — (n+1)^2}{n^2(n+1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{n^2 — (n^2 + 2n + 1)}{n^2(n+1)^2}$$ $$x_{n+1} — x_n = \frac{-2n — 1}{n^2(n+1)^2}$$

Так как числитель отрицателен, а знаменатель всегда положителен, разность $x_{n+1} — x_n$ всегда отрицательна для всех $n \geq 1$.

Вывод по монотонности:
Поскольку $x_{n+1} — x_n < 0$, последовательность $x_n$ является убывающей.

Исследуем ограниченность:

Для того чтобы доказать ограниченность последовательности, найдём её верхнюю и нижнюю границу.

Верхняя граница:
Рассмотрим предел последовательности при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) = 1$$

Следовательно, последовательность стремится к 1, но всегда будет меньше 1, так как $\frac{1}{n^2} > 0$ для всех $n$.

Таким образом, верхняя граница последовательности — это 1.

Нижняя граница:
Для всех $n \geq 1$ последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{n^2}$ всегда больше 1, так как $\frac{1}{n^2} > 0$. Следовательно, минимальное значение последовательности при $n = 1$:

$$x_1 = 1 + \frac{1}{1^2} = 2$$

Таким образом, нижняя граница последовательности — это 1, так как последовательность убывает и стремится к 1.

Вывод по ограниченности:
Последовательность $x_n$ ограничена снизу 1 и сверху 2, то есть $1 \leq x_n \leq 2$ для всех $n$.