ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите примеры последовательностей:

a) возрастающих и ограниченных снизу;

б) возрастающих и не ограниченных сверху

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

а) Возрастающие и ограниченные снизу:
$y_n = n + 1;$
$y_n = \sqrt{x + 4};$
$y_n = -\frac{1}{n^2};$

б) Возрастающие и не ограниченные сверху:
$y_n = n^3 + 2n^2;$
$y_n = 2n + 3;$
$y_n = n^4 — 5;$

в) Убывающие и ограниченные снизу:
$y_n = \frac{1}{n};$
$y_n = \frac{5}{n^2 + 4};$
$y_n = -\frac{n}{n + 2};$

г) Убывающие и не ограниченные снизу:
$y_n = -10n;$
$y_n = -\sqrt{n^5 — 1};$
$y_n = -n^3 + 50;$

Определения:

• Возрастающая последовательность — последовательность $y_n$, в которой каждый последующий элемент больше или равен предыдущему: $y_{n+1} \geq y_n$.
• Убывающая последовательность — последовательность $y_n$, в которой каждый последующий элемент меньше или равен предыдущему: $y_{n+1} \leq y_n$.
• Ограниченная снизу последовательность — последовательность, для которой существует число $M$, такое что для всех $n$ выполняется $y_n \geq M$.
• Неограниченная сверху последовательность — последовательность, которая может принимать произвольно большие значения. То есть, для любого числа $A$ существует такой номер $n$, что $y_n > A$.

a) Возрастающие и ограниченные снизу

Для последовательности, которая возрастает и ограничена снизу, каждый её элемент должен увеличиваться или оставаться равным предыдущему, но при этом не опускаться ниже некоторого числа.

Пример 1:
$y_n = n + 1$

• Это простая линейная последовательность.
• Она возрастает, потому что для всех $n$ выполняется $y_{n+1} = (n + 1) + 1 > (n + 1)$.
• Она ограничена снизу: минимальное значение этой последовательности при $n = 1$ равно 2, а все последующие значения больше 2. То есть существует нижняя граница $M = 2$.

Пример 2:
$y_n = \sqrt{x + 4}$

• Для $x \geq -4$ эта функция возрастает, так как производная $\frac{d}{dx} \sqrt{x+4} > 0$ для всех $x \geq -4$.
• Она также ограничена снизу: когда $x = -4$, значение равно 0, а для всех $x > -4$ эта функция положительна и увеличивается, но всегда остаётся больше или равно 0. Таким образом, минимальное значение равно 0, а последовательность ограничена снизу.

Пример 3:
$y_n = -\frac{1}{n^2}$

• Эта последовательность также возрастает, так как $y_n$ становится менее отрицательным с увеличением $n$, то есть $y_{n+1} > y_n$.
• Она ограничена снизу: все элементы этой последовательности всегда больше или равны 0 (например, для $n \geq 1$, $y_n = -\frac{1}{n^2} \geq -1$, и оно не опускается ниже этой величины).

б) Возрастающие и неограниченные сверху

Для последовательности, которая возрастает и не ограничена сверху, каждый её элемент должен увеличиваться, но без верхней границы, то есть последовательность может принимать произвольно большие значения.

Пример 1:
$y_n = n^3 + 2n^2$

• Это полиномиальная последовательность, которая явно возрастает, так как её производная (при $n$ растущем) положительна: $3n^2 + 4n$.
• Она не ограничена сверху, так как для любого $A$ можно найти $n$, такое что $y_n = n^3 + 2n^2 > A$, поскольку $n^3$ растет очень быстро при больших значениях $n$.

Пример 2:
$y_n = 2n + 3$

• Линейная последовательность, которая тоже возрастает. $y_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 5 > 2n + 3$, то есть последовательность действительно возрастает.
• Она не ограничена сверху, так как для любого $A$ существует $n$, такое что $y_n = 2n + 3 > A$.

Пример 3:
$y_n = n^4 — 5$

• Эта последовательность возрастает, так как $y_{n+1} = (n+1)^4 — 5 > n^4 — 5$ для всех $n$.
• Она также не ограничена сверху, так как $n^4$ растет очень быстро и может принимать произвольно большие значения при достаточно больших $n$.

в) Убывающие и ограниченные снизу

Для последовательности, которая убывает и ограничена снизу, каждый её элемент должен уменьшаться, но при этом оставаться выше некоторого числа (существует нижняя граница).

Пример 1:
$y_n = \frac{1}{n}$

• Эта последовательность убывает, так как для всех $n$ выполняется $y_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.
• Она ограничена снизу: $y_n$ всегда больше 0 для всех $n$, то есть нижняя граница $M = 0$.

Пример 2:
$y_n = \frac{5}{n^2 + 4}$

• Эта последовательность также убывает, так как с увеличением $n$, знаменатель увеличивается, а значение дроби уменьшается.
• Она ограничена снизу: значение последовательности стремится к 0 при $n \to \infty$, но никогда не становится меньше 0, так что она ограничена снизу нулём.

Пример 3:
$y_n = -\frac{n}{n + 2}$

• Эта последовательность убывает, так как для каждого $n$ выполняется $y_{n+1} = -\frac{n+1}{n+3} < -\frac{n}{n+2}$.
• Она ограничена снизу: хотя её значения отрицательны, она стремится к -1 при $n \to \infty$ и никогда не становится меньше -1, то есть нижняя граница последовательности — это -1.

г) Убывающие и неограниченные снизу

Для последовательности, которая убывает и не ограничена снизу, каждый её элемент должен уменьшаться и быть способным принимать произвольно малые (отрицательные) значения.

Пример 1:
$y_n = -10n$

• Эта последовательность явно убывает, так как с увеличением $n$, значения $y_n$ становятся всё более отрицательными.
• Она не ограничена снизу: для любого числа $A$ можно найти $n$, такое что $y_n = -10n < A$.

Пример 2:
$y_n = -\sqrt{n^5 — 1}$

• Эта последовательность убывает, потому что $\sqrt{n^5 — 1}$ растет с увеличением $n$, а знак минус делает последовательность убывающей.
• Она не ограничена снизу: поскольку значения $y_n$ стремятся к минус бесконечности при $n \to \infty$, последовательность не имеет нижней границы.

Пример 3:
$y_n = -n^3 + 50$

• Эта последовательность убывает, так как с увеличением $n$, значение $y_n$ становится всё более отрицательным.
• Она не ограничена снизу: $y_n$ будет стремиться к минус бесконечности по мере роста $n$, то есть последовательность не имеет нижней границы.

Вывод:

• Возрастающие и ограниченные снизу последовательности: такие последовательности увеличиваются, но их элементы не могут быть меньше определённой величины (например, $y_n = n + 1$).
• Возрастающие и неограниченные сверху последовательности: они могут расти до бесконечности (например, $y_n = n^3 + 2n^2$).
• Убывающие и ограниченные снизу последовательности: они уменьшаются, но остаются выше некоторой величины (например, $y_n = \frac{1}{n}$).
• Убывающие и неограниченные снизу последовательности: такие последовательности уменьшаются и могут принимать произвольно малые значения (например, $y_n = -10n$).