ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Приведите пример последовательности:

a) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;

б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7);

в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена;

г) неограниченной, немонотонной.

а) Возрастающие, ограниченные сверху и все члены положительные:

$$y_n = \frac{n+1}{n+2};$$ $$y_n = \frac{n}{n+3} + 1;$$ $$y_n = -\frac{1}{n} + 2;$$

б) Убывающие, все члены которых принадлежат интервалу (0; 7):

$$y_n = \frac{1}{n} + 4;$$ $$y_n = -\frac{n}{1+n} + 3;$$ $$y_n = \frac{n^2 + 1}{n^2};$$

в) Возрастающие, имеющие ровно три отрицательных члена:

$$y_n = n^2 — 10;$$ $$y_n = n — 4;$$ $$y_n = \frac{n^2}{n+1} — 3;$$

г) Неограниченные и немонотонные:

$$y_n = (-3)^n;$$ $$y_n = (-1)^n \cdot 9n;$$ $$y_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$$

a) Возрастающая, ограниченная сверху, все члены которой положительные числа

Примеры последовательности:

$$y_n = \frac{n+1}{n+2};$$ $$y_n = \frac{n}{n+3} + 1;$$ $$y_n = -\frac{1}{n} + 2;$$

Шаги решения:

Пример 1: $y_n = \frac{n+1}{n+2}$

• Мы уже доказали, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху числом 1. Для всех $n \geq 1$ члены последовательности положительные.

Пример 2: $y_n = \frac{n}{n+3} + 1$

• Для проверки возрастающей последовательности:

  $$y_{n+1} = \frac{n+1}{n+4} + 1, \quad y_n = \frac{n}{n+3} + 1$$

  Разница:

  $$y_{n+1} — y_n = \left( \frac{n+1}{n+4} + 1 \right) — \left( \frac{n}{n+3} + 1 \right) = \frac{n+1}{n+4} — \frac{n}{n+3}$$

  Приведем к общему знаменателю:

  $$y_{n+1} — y_n = \frac{(n+1)(n+3) — n(n+4)}{(n+3)(n+4)} = \frac{n+3}{(n+3)(n+4)} = \frac{1}{n+4}$$

  Поскольку эта разница положительная для всех $n \geq 1$, последовательность возрастает.

• Для ограниченности сверху:

  $$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+3} + 1 = 1 + 1 = 2$$

  Следовательно, последовательность ограничена сверху числом 2, и все члены положительные.

Пример 3: $y_n = -\frac{1}{n} + 2$

• Эта последовательность тоже возрастает:

  $$y_{n+1} = -\frac{1}{n+1} + 2, \quad y_n = -\frac{1}{n} + 2$$

  Разница:

  $$y_{n+1} — y_n = \left( -\frac{1}{n+1} + 2 \right) — \left( -\frac{1}{n} + 2 \right) = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}$$ $$y_{n+1} — y_n = \frac{1}{n(n+1)}$$

  Положительная разница подтверждает, что последовательность возрастает.

• Ограниченность сверху:

  $$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} + 2 = 2$$

  Следовательно, последовательность ограничена сверху числом 2, и все члены положительные.

б) Убывающая, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7)

Примеры последовательности:

$$y_n = \frac{1}{n} + 4;$$ $$y_n = -\frac{n}{1+n} + 3;$$ $$y_n = \frac{n^2 + 1}{n^2};$$

Шаги решения:

Пример 1: $y_n = \frac{1}{n} + 4$

• Мы уже проверили, что эта последовательность убывает и все члены принадлежат интервалу (0, 7):

  $$y_n = \frac{1}{n} + 4 \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} y_n = 4$$

  Следовательно, последовательность лежит в интервале (0, 7) для всех $n \geq 1$.

Пример 2: $y_n = -\frac{n}{1+n} + 3$

• Проверим, что последовательность убывает:

  $$y_{n+1} = -\frac{n+1}{2+n} + 3, \quad y_n = -\frac{n}{1+n} + 3$$

  Разница:

  $$y_{n+1} — y_n = \left( -\frac{n+1}{2+n} + 3 \right) — \left( -\frac{n}{1+n} + 3 \right) = \frac{n}{1+n} — \frac{n+1}{2+n}$$

  Эта разница отрицательна, что подтверждает убывание.

• Проверим, что все члены принадлежат интервалу (0, 7):
  Для $n = 1$:

  $$y_1 = -\frac{1}{2} + 3 = 2.5$$

  Для $n \to \infty$:

  $$\lim_{n \to \infty} y_n = 3$$

  Таким образом, все члены последовательности лежат в интервале (0, 7).

Пример 3: $y_n = \frac{n^2 + 1}{n^2}$

• Проверим убывание:

  $$y_{n+1} = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2}, \quad y_n = \frac{n^2 + 1}{n^2}$$

  Разница:

  $$y_{n+1} — y_n = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^2} — \frac{n^2 + 1}{n^2}$$

  Положительная разница показывает, что последовательность убывает.

• Проверим, что все члены принадлежат интервалу (0, 7):
  Для $n = 1$:

  $$y_1 = \frac{1^2 + 1}{1^2} = 2$$

  Для $n \to \infty$:

  $$\lim_{n \to \infty} y_n = 1$$

  Все члены лежат в интервале (0, 7).

в) Возрастающая, имеющая ровно три отрицательных члена

Примеры последовательности:

$$y_n = n^2 — 10;$$ $$y_n = n — 4;$$ $$y_n = \frac{n^2}{n+1} — 3;$$

Шаги решения:

Пример 1: $y_n = n^2 — 10$

• Мы уже проверили, что эта последовательность возрастает, и имеет ровно три отрицательных члена:
  Для $n = 1, 2, 3$ члены последовательности отрицательны:

  $$y_1 = 1^2 — 10 = -9, \quad y_2 = 2^2 — 10 = -6, \quad y_3 = 3^2 — 10 = -1$$

  Для $n \geq 4$ последовательность становится положительной.

Пример 2: $y_n = n — 4$

• Для проверки возрастающей последовательности:

  $$y_{n+1} = (n+1) — 4 = n — 3, \quad y_n = n — 4$$

  Разница:

  $$y_{n+1} — y_n = n — 3 — (n — 4) = 1$$

  Положительная разница подтверждает возрастание.

• Для отрицательных членов:

  $$y_n < 0 \quad \text{при} \quad n < 4$$

  Следовательно, для $n = 1, 2, 3$ члены последовательности отрицательны, а для $n \geq 4$ все члены положительны.

Пример 3: $y_n = \frac{n^2}{n+1} — 3$

• Проверим, что последовательность возрастает:

  $$y_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{n+2} — 3, \quad y_n = \frac{n^2}{n+1} — 3$$

  Разница между членами:

  $$y_{n+1} — y_n = \frac{(n+1)^2}{n+2} — \frac{n^2}{n+1}$$

  Проверив разницу, получим положительный результат, подтверждающий возрастание.

• Для отрицательных членов:

  $$y_n < 0 \quad \text{при} \quad n < 3$$

  Таким образом, для $n = 1, 2, 3$ члены последовательности отрицательны.

г) Неограниченные и немонотонные

Примеры последовательности:

$$y_n = (-3)^n;$$ $$y_n = (-1)^n \cdot 9n;$$ $$y_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$$

Шаги решения:

Пример 1: $y_n = (-3)^n$

• Эта последовательность неограниченная, так как для четных $n$ члены будут положительными, а для нечетных — отрицательными, и они будут стремиться к бесконечности и минус бесконечности.

Пример 2: $y_n = (-1)^n \cdot 9n$

• Эта последовательность также неограниченная, так как чередует положительные и отрицательные значения, и каждый член будет стремиться к бесконечности или минус бесконечности в зависимости от четности $n$.

Пример 3: $y_n = (-1)^{n+1} \cdot n^2$

• Эта последовательность также неограниченная, так как для четных $n$ она будет положительной и расти без ограничений, а для нечетных $n$ она будет отрицательной и уменьшаться без ограничений.