ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности (yn):

а) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$;

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$

а) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$;

$y_1 = \frac{1}{1^3 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$;

$y_2 = \frac{1 \cdot 2}{2^3 + 1} = \frac{2}{8 + 1} = \frac{2}{9}$;

$y_3 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3^3 + 1} = \frac{6}{27 + 1} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$;

$y_4 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4^3 + 1} = \frac{24}{64 + 1} = \frac{24}{65}$;

$y_5 = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{5^3 + 1} = \frac{120}{125 + 1} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$;

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$;

$y_1 = \frac{\ldots \cdot (2 — 1)}{\ldots \cdot 2} = \frac{1}{2}$;

$y_2 = \frac{\ldots \cdot (2 \cdot 2 — 1)}{\ldots \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{\ldots \cdot (4 — 1)}{\ldots \cdot 4} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$;

$y_3 = \frac{\ldots \cdot (2 \cdot 3 — 1)}{\ldots \cdot (2 \cdot 3)} = \frac{\ldots \cdot (6 — 1)}{\ldots \cdot 6} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$;

$y_4 = \frac{\ldots \cdot (2 \cdot 4 — 1)}{\ldots \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{\ldots \cdot (8 — 1)}{\ldots \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{105}{384} = \frac{35}{128}$;

$y_5 = \frac{\ldots \cdot (2 \cdot 5 — 1)}{\ldots \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{\ldots \cdot (10 — 1)}{\ldots \cdot 10} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10} = \frac{945}{3840} = \frac{63}{256}$

а) $y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$

Задача заключается в вычислении значений последовательности $y_n$ для различных $n$, начиная с $n = 1$ и до $n = 5$.

Общее выражение:

$$y_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n}{n^3 + 1}$$

Где числитель — это произведение всех чисел от 1 до $n$, а в знаменателе — выражение $n^3 + 1$.

1. $y_1$

Подставим $n = 1$:

$$y_1 = \frac{1}{1^3 + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$y_1 = \frac{1}{2}$$

2. $y_2$

Подставим $n = 2$:

Числитель: $1 \cdot 2 = 2$

Знаменатель: $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$

$$y_2 = \frac{2}{9}$$

Ответ:

$$y_2 = \frac{2}{9}$$

3. $y_3$

Подставим $n = 3$:

Числитель: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Знаменатель: $3^3 + 1 = 27 + 1 = 28$

$$y_3 = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$$

Ответ:

$$y_3 = \frac{3}{14}$$

4. $y_4$

Подставим $n = 4$:

Числитель: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

Знаменатель: $4^3 + 1 = 64 + 1 = 65$

$$y_4 = \frac{24}{65}$$

Ответ:

$$y_4 = \frac{24}{65}$$

5. $y_5$

Подставим $n = 5$:

Числитель: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Знаменатель: $5^3 + 1 = 125 + 1 = 126$

$$y_5 = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$$

Ответ:

$$y_5 = \frac{20}{21}$$

Итог для части а):

$$y_1 = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{2}{9}, \quad y_3 = \frac{3}{14}, \quad y_4 = \frac{24}{65}, \quad y_5 = \frac{20}{21}$$

б) $y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$

Задача — вычислить значения последовательности $y_n$ для разных $n$, начиная с $n = 1$ и до $n = 5$.

Общее выражение:

$$y_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n — 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$$

Где числитель — это произведение всех нечетных чисел от 1 до $2n — 1$, а знаменатель — произведение всех четных чисел от 2 до $2n$.

1. $y_1$

Подставим $n = 1$:

Числитель: $1$

Знаменатель: $2$

$$y_1 = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$y_1 = \frac{1}{2}$$

2. $y_2$

Подставим $n = 2$:

Числитель: $1 \cdot 3 = 3$

Знаменатель: $2 \cdot 4 = 8$

$$y_2 = \frac{3}{8}$$

Ответ:

$$y_2 = \frac{3}{8}$$

3. $y_3$

Подставим $n = 3$:

Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$

Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$

$$y_3 = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$$

Ответ:

$$y_3 = \frac{5}{16}$$

4. $y_4$

Подставим $n = 4$:

Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384$

$$y_4 = \frac{105}{384} = \frac{35}{128}$$

Ответ:

$$y_4 = \frac{35}{128}$$

5. $y_5$

Подставим $n = 5$:

Числитель: $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$

Знаменатель: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 3840$

$$y_5 = \frac{945}{3840} = \frac{63}{256}$$

Ответ:

$$y_5 = \frac{63}{256}$$

Итог для части б):

$$y_1 = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3}{8}, \quad y_3 = \frac{5}{16}, \quad y_4 = \frac{35}{128}, \quad y_5 = \frac{63}{256}$$

$$y_1 = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3}{8}, \quad y_3 = \frac{5}{16}, \quad y_4 = \frac{35}{128}, \quad y_5 = \frac{63}{256}$$