ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 37.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{2}$:

a) по недостатку;

б) по избытку.

Число: $\sqrt{2}=1,4142\dots$

а) Четыре члена последовательности приближений по недостатку:
1; 1,4; 1,41; 1,414;

б) Четыре члена последовательности приближений по избытку:
2; 1,5; 1,42; 1,415

1. Основное число: $\sqrt{2}$

Мы знаем, что число $\sqrt{2}$ — это квадратный корень из 2. Его точное значение выражается как:

$$\sqrt{2}=1,414213562\dots$$

Однако, поскольку мы не можем точно выразить это число с помощью конечного количества цифр, необходимо использовать приближения.

2. Приближения по недостатку

Приближения по недостатку означают, что каждое следующее приближение является меньшим или равным истинному значению $\sqrt{2}$. Это значит, что каждая величина будет меньше или равна $1,414213562\dots$.

Шаги построения последовательности приближений по недостатку:

1. Первое приближение: 1Начнём с первого приближения: $1$. Это самое грубое приближение, которое меньше $\sqrt{2}$.
2. Второе приближение: 1,4Это приближение появляется после округления значения $\sqrt{2}$ до одной цифры после запятой. Число $1,4$ является меньшим, чем точное значение $1,414213562\dots$, но уже достаточно близким.
3. Третье приближение: 1,41Дальше мы округляем $\sqrt{2}$ до двух знаков после запятой, получаем $1,41$, что также меньше истинного значения, но уже с большей точностью.
4. Четвёртое приближение: 1,414Округляем до трёх знаков после запятой. Получаем $1,414$. Это уже довольно точное приближение, но оно всё ещё меньше $\sqrt{2}$.

Итак, последовательность приближений по недостатку:

$$1;1,4;1,41;1,414$$

3. Приближения по избытку

Приближения по избытку означают, что каждое следующее приближение будет больше или равно истинному значению $\sqrt{2}$. То есть каждое приближение будет находиться выше или равно $1,414213562\dots$.

Шаги построения последовательности приближений по избытку:

1. Первое приближение: 2Начнём с самого грубого приближения — $2$. Это число, конечно, больше, чем $\sqrt{2}$, и является верхней границей, которая гарантированно больше истинного значения.
2. Второе приближение: 1,5Это приближение появляется после округления $\sqrt{2}$ до одной цифры после запятой в большую сторону. Число $1,5$ больше, чем истинное значение $1,414213562\dots$, но уже ближе.
3. Третье приближение: 1,42Округляем $\sqrt{2}$ до двух знаков после запятой, получаем $1,42$, что также больше точного значения. Это приближение даёт точность на два знака после запятой.
4. Четвёртое приближение: 1,415Округляем $\sqrt{2}$ до трёх знаков после запятой, получаем $1,415$, что снова больше, чем истинное значение $\sqrt{2}$, но всё же достаточно близко к нему.

Итак, последовательность приближений по избытку:

$$2;1,5;1,42;1,415$$

4. Итоговые последовательности:

• Приближения по недостатку:

$$1;1,4;1,41;1,414$$

• Приближения по избытку:

$$2;1,5;1,42;1,415$$

Эти последовательности позволяют нам приближённо вычислять $\sqrt{2}$ с разной степенью точности, при этом последовательность по недостатку даёт числа, меньше или равные истинному значению, а последовательность по избытку — больше или равные.