ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:

a) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

а) Если последовательность имеет предел, то она монотонна;

Неверно, так как существуют последовательности, которые имеют предел, но при этом не являются монотонными, например:

$y_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0;$

б) Если последовательность монотонна, то она имеет предел;

Неверно, так как существуют монотонные последовательности, которые не имеют предела, например:

$y_n = n \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} n \quad \text{не существует};$

в) Если последовательность ограничена, то она имеет предел;

Неверно, так как существуют ограниченные последовательности, которые не имеют предела, например:

$y_n = (-1)^n \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} (-1)^n \quad \text{не существует};$

г) Если последовательность не монотонна, то она не имеет предела;

Неверно, так как существуют немонотонные последовательности, которые имеют предел, например:

$y_n = (-1)^n \cdot \frac{2}{n} \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n \cdot 2}{n} = 0;$

а) Если последовательность имеет предел, то она монотонна.

Утверждение неверно.

Причина: Существуют последовательности, которые имеют предел, но при этом не являются монотонными.

Пример:

Рассмотрим последовательность:

$$y_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}.$$

Эта последовательность чередуется между положительными и отрицательными числами, но с каждым шагом её величина убывает к нулю.

1. Для чётных $n$, $y_n = \frac{1}{n}$, то есть последовательность положительна и убывает.
2. Для нечётных $n$, $y_n = -\frac{1}{n}$, то есть последовательность отрицательна и также убывает по абсолютной величине.

Теперь вычислим предел этой последовательности:

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n} = 0.$$

Итак, хотя эта последовательность сходится к 0, она не является монотонной, поскольку чередует положительные и отрицательные значения. Таким образом, последовательность не монотонна, но имеет предел.

Вывод: Не всякая последовательность, имеющая предел, является монотонной.

б) Если последовательность монотонна, то она имеет предел.

Утверждение неверно.

Причина: Существуют монотонные последовательности, которые не имеют предела.

Пример:

Рассмотрим последовательность:

$$y_n = n.$$

Эта последовательность является монотонной (неубывающей), так как каждый следующий элемент больше или равен предыдущему. Однако её предел не существует:

$$\lim_{n \to \infty} n = \infty.$$

Последовательность стремится к бесконечности, а значит, не существует конечного предела. Таким образом, монотонность последовательности не гарантирует, что она имеет предел, если этот предел не является конечным.

Вывод: Монотонность последовательности не всегда приводит к существованию конечного предела.

в) Если последовательность ограничена, то она имеет предел.

Утверждение неверно.

Причина: Существуют ограниченные последовательности, которые не имеют предела.

Пример:

Рассмотрим последовательность:

$$y_n = (-1)^n.$$

Эта последовательность ограничена, так как её элементы принимают значения только из множества $\{-1, 1\}$. То есть она остаётся в пределах от $-1$ до $1$. Однако её предел не существует, поскольку последовательность чередует два значения, и она не стремится к какому-то одному числу.

Формально, предел этой последовательности не существует:

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \quad \text{не существует}.$$

Вывод: Ограниченность последовательности не гарантирует её существование предела.

г) Если последовательность не монотонна, то она не имеет предела.

Утверждение неверно.

Причина: Существуют немонотонные последовательности, которые имеют предел.

Пример:

Рассмотрим последовательность:

$$y_n = (-1)^n \cdot \frac{2}{n}.$$

Эта последовательность является немонотонной, поскольку она чередуется между положительными и отрицательными значениями:

1. Для чётных $n$, $y_n = \frac{2}{n}$, последовательность положительна и убывает.
2. Для нечётных $n$, $y_n = -\frac{2}{n}$, последовательность отрицательна и также убывает по абсолютной величине.

Однако её предел существует, и он равен нулю:

$$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \cdot \frac{2}{n} = 0.$$

Несмотря на то, что эта последовательность немонотонна, она всё же имеет предел, равный нулю.

Вывод: Немонотонность не всегда означает отсутствие предела. Существуют немонотонные последовательности с конечным пределом.

Итог:

а) Существуют последовательности с пределом, но без монотонности.

б) Монотонность не гарантирует существование конечного предела.

в) Ограниченность не всегда приводит к существованию предела.

г) Немонотонность не исключает наличие предела.