ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел:

а) $x_n=\frac{3n^2+2}{n^2}$

б) $x_n=\frac{n^2-5}{n^2+5}$

а) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2} = 3 + \frac{2}{n^2};$

$d_{n+1} = \frac{2}{(n+1)^2} = \frac{2}{n^2 + 2n + 1};$

$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\frac{2}{n^2 + 2n + 1}}{\frac{2}{n^2}} = \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} < 1;$

Значение дроби убывает, значит последовательность убывает;

Все члены последовательности положительны, значит она ограничена;

Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел;

б) $x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5} = \frac{n^2 + 5 — 10}{n^2 + 5} = 1 — \frac{10}{n^2 + 5};$

$d_{n+1} = \frac{10}{(n+1)^2 + 5} = \frac{10}{n^2 + 2n + 1 + 5} = \frac{10}{n^2 + 2n + 6};$

$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{\frac{10}{n^2 + 2n + 6}}{\frac{10}{n^2 + 5}} = \frac{n^2 + 5}{n^2 + 2n + 6} \cdot \frac{10}{10} = \frac{n^2 + 5}{n^2 + 5 + 2n + 1} < 1;$

Значение дроби убывает, значит последовательность возрастает;

Знаменатель всегда больше числителя, значит последовательность ограничена: $x_{min} = \frac{1 — 5}{1 + 5} = -\frac{2}{3}$ и $x_{max} = 1;$

Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел.

а) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$

Рассмотрим последовательность $x_n$:

$$x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$$

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$x_n = 3 + \frac{2}{n^2}.$$

Таким образом, последовательность $x_n$ принимает вид:

$$x_n = 3 + \frac{2}{n^2}.$$

1. Рассмотрим поведение последовательности $x_n$ при $n \to \infty$:

Когда $n$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{2}{n^2}$ стремится к нулю. Таким образом, предел последовательности:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 3 + 0 = 3.$$

Следовательно, последовательность сходится к 3.

2. Проверим, является ли последовательность монотонной:

Для этого рассмотрим разность двух последовательных членов $x_{n+1} — x_n$:

$$x_{n+1} = 3 + \frac{2}{(n+1)^2}, \quad x_n = 3 + \frac{2}{n^2}.$$

Тогда:

$$x_{n+1} — x_n = \left( 3 + \frac{2}{(n+1)^2} \right) — \left( 3 + \frac{2}{n^2} \right) = \frac{2}{(n+1)^2} — \frac{2}{n^2}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{2n^2 — 2(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n^2 — 2(n^2 + 2n + 1)}{n^2(n+1)^2}.$$

Упростим:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{2n^2 — 2n^2 — 4n — 2}{n^2(n+1)^2} = \frac{-4n — 2}{n^2(n+1)^2}.$$

Мы видим, что числитель выражения $-4n — 2$ всегда отрицателен для $n \geq 1$, а знаменатель $n^2(n+1)^2$ всегда положителен. Таким образом, разность $x_{n+1} — x_n$ всегда отрицательна для $n \geq 1$. Это означает, что последовательность убывает.

3. Проверим, ограничена ли последовательность:

Очевидно, что все члены последовательности положительны:

$$x_n = 3 + \frac{2}{n^2} > 0 \quad \text{для всех} \quad n \geq 1.$$

Также последовательность ограничена сверху числом 3, так как:

$$x_n = 3 + \frac{2}{n^2} < 3 + 2 = 5 \quad \text{для всех} \quad n \geq 1.$$

Таким образом, последовательность ограничена и сверху, и снизу.

4. Применим теорему Вейерштрасса:

Последовательность $x_n$ монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, она сходится к пределу. Согласно теореме Вейерштрасса, такая последовательность обязательно имеет предел.

Вывод:
Предел последовательности $x_n$ существует и равен 3.

б) $x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5}$

Рассмотрим последовательность $x_n$:

$$x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$x_n = \frac{1 — \frac{5}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}}.$$

Для больших $n$ дроби $\frac{5}{n^2}$ стремятся к нулю, поэтому:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1 — 0}{1 + 0} = 1.$$

Таким образом, предел последовательности $x_n$ равен 1.

1. Рассмотрим монотонность последовательности $x_n$:

Для этого посчитаем разность между двумя последовательными членами $x_{n+1}$ и $x_n$:

$$x_{n+1} = \frac{(n+1)^2 — 5}{(n+1)^2 + 5}, \quad x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5}.$$

Разность:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{(n+1)^2 — 5}{(n+1)^2 + 5} — \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5}.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{((n+1)^2 — 5)(n^2 + 5) — (n^2 — 5)((n+1)^2 + 5)}{((n+1)^2 + 5)(n^2 + 5)}.$$

После упрощения мы получим, что числитель разности будет отрицательным для всех $n \geq 1$, что означает, что последовательность $x_n$ возрастает.

2. Проверим ограниченность последовательности:

Мы видим, что для всех $n$:

$$x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5} \in \left( -1, 1 \right),$$

так как:

$$x_n = \frac{n^2 — 5}{n^2 + 5} \quad \text{и} \quad x_n \to 1 \quad \text{при} \quad n \to \infty.$$

Для $n = 1$ последовательность $x_n$ равна:

$$x_1 = \frac{1^2 — 5}{1^2 + 5} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}.$$

Таким образом, последовательность ограничена снизу и сверху, так как:

$$-1 < x_n < 1 \quad \text{для всех} \quad n \geq 1.$$

3. Применим теорему Вейерштрасса:

Последовательность $x_n$ возрастает и ограничена, следовательно, она сходится к пределу. Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел.

Вывод:
Предел последовательности $x_n$ существует и равен 1.