ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел:

а) $x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n};$

б) $x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$

а) $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n};$

Каждый член суммы положителен, значит каждый следующий член последовательности больше предыдущего, следовательно последовательность возрастает;

Для всей суммы имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = 1 \quad \text{и} \quad q = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2};$
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{1 — 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2;$
Последовательность ограничена: $x_{\min} = 1$ и $x_{\max} = 2$;

Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел;

б) $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n};$

Каждый член суммы положителен, значит каждый следующий член последовательности больше предыдущего, следовательно последовательность возрастает;

Для всей суммы выполняется неравенство:
$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}}_{n \text{ раз}} = 1;$
Последовательность ограничена: $x_{\min} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ и $x_{\max} = 1$;

Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность имеет предел

а) $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n};$

Положительность членов последовательности и возрастание последовательности:

Каждый член последовательности $x_n$ можно выразить в виде суммы:

$$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n}.$$

Каждое слагаемое $\frac{1}{2^k}$ для $k = 0, 1, 2, \dots, n$ положительно, так как дроби с положительным числителем и знаменателем больше нуля. Следовательно, каждый член последовательности $x_n$ является положительным.

Теперь проверим возрастание последовательности. Для этого рассмотрим разницу $x_{n+1} — x_n$:

$$x_{n+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}},$$ $$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n}.$$

Тогда:

$$x_{n+1} — x_n = \frac{1}{2^{n+1}}.$$

Очевидно, что $\frac{1}{2^{n+1}} > 0$, значит $x_{n+1} > x_n$. Таким образом, последовательность $x_n$ возрастает.

Геометрическая прогрессия и ограниченность последовательности:

Последовательность $x_n$ является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии, где:

Первый член $b_1 = 1$,

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Для суммы первых $n+1$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^{n+1})}{1 — q}.$$

В нашем случае:

$$x_n = \frac{1(1 — \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1})}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 2 \left( 1 — \frac{1}{2^{n+1}} \right).$$

Когда $n \to \infty$, $\frac{1}{2^{n+1}} \to 0$, и $x_n$ стремится к 2. Таким образом, последовательность $x_n$ ограничена сверху числом 2.

Также заметим, что:

$$x_n \geq 1 \quad \text{для всех } n \geq 0.$$

Таким образом, последовательность ограничена снизу числом 1.

Итак, последовательность $x_n$ ограничена интервалом $[1, 2]$.

Предел последовательности:

Согласно теореме Вейерштрасса, если последовательность ограничена и возрастает, то она имеет предел. Предел этой последовательности равен:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} 2 \left( 1 — \frac{1}{2^{n+1}} \right) = 2 \left( 1 — 0 \right) = 2.$$

Таким образом, последовательность $x_n$ имеет предел $2$.

б) $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n};$

Положительность членов последовательности и возрастание последовательности:

Каждый член суммы:

$$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}$$

является положительным, так как все знаменатели $n+1, n+2, \dots, 2n$ больше нуля, а дроби с положительными числителями и знаменателями положительны. Следовательно, каждый член последовательности $x_n$ положителен.

Теперь проверим возрастание последовательности. Для этого сравним два соседних члена последовательности: $x_{n+1}$ и $x_n$.

$$x_{n+1} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{2(n+1)},$$ $$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}.$$

Каждое слагаемое в $x_{n+1}$ меньше соответствующего слагаемого в $x_n$, за исключением первого слагаемого $\frac{1}{n+1}$, которое в $x_{n+1}$ заменяется на $\frac{1}{n+2}$, и последнего слагаемого $\frac{1}{2n}$, которое в $x_n$ заменяется на $\frac{1}{2(n+1)}$.

Таким образом, последовательность $x_n$ возрастает, поскольку для всех $n$:

$$x_{n+1} > x_n.$$

Ограниченность последовательности:

Теперь оценим, насколько велики значения $x_n$. Для этого заметим, что каждый член суммы $x_n$ меньше или равен $\frac{1}{n}$, так как:

$$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} < \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}}_{n \text{ раз}} = 1.$$

Таким образом, для всех $n$:

$$x_n < 1.$$

Снизу последовательность ограничена:

$$x_n > \frac{1}{n+1}.$$

Для $n = 1$ получаем:

$$x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 0.8333\ldots > \frac{1}{2}.$$

Следовательно, последовательность ограничена интервалом $\left[ \frac{1}{2}, 1 \right)$.

Предел последовательности:

Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность ограничена и возрастает, следовательно, она имеет предел. Чтобы найти этот предел, заметим, что с увеличением $n$ сумма

$$x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}$$

стремится к нулю, так как каждый отдельный член стремится к нулю. Более того, сумма этих членов, по сути, стремится к интегралу, который также будет стремиться к нулю.

Таким образом, предел последовательности $x_n$ равен:

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 0.$$