ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите $\lim_{n \to \infty} x_n$:

а) $x_n$ =${ }_{}\frac{5}{n^2}$

б) $x_n$ =${ }_{}$$(-\frac{17}{n^3})$

в) $x_n$ = ${}_{}(-\frac{15}{n^2})$

г) $x_n$ =${ }_{}\frac{3}{\sqrt{n}}$

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = 5 \cdot 0 \cdot 0 = 0$;

б) $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{17}{n^3} \right) = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = -17 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$;

в) $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{15}{n^2} \right) = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = -15 \cdot 0 \cdot 0 = 0$;

г) $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 3 \cdot 0 = 0$

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2}$:

Для начала разделим на множители: $\frac{5}{n^2} = 5 \cdot \frac{1}{n^2}$.

Мы видим, что $\frac{1}{n^2}$ является выражением, в котором $n$ стремится к бесконечности.

Поскольку $\frac{1}{n^2} \to 0$ при $n \to \infty$ (это стандартное свойство предела функции $\frac{1}{x^2}$ при $x \to \infty$), получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = 5 \cdot 0 \cdot 0 = 0.$$

В итоге, $\lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} = 0$.

б) $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{17}{n^3} \right)$:

Аналогично предыдущему шагу, можно представить выражение как произведение:

$$-\frac{17}{n^3} = -17 \cdot \frac{1}{n^3}.$$

Теперь необходимо исследовать предел $\frac{1}{n^3}$ при $n \to \infty$.

Мы знаем, что $\frac{1}{n^3} \to 0$ при $n \to \infty$ (это стандартный предел функции $\frac{1}{x^3}$ при $x \to \infty$).

Таким образом, мы получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{17}{n^3} \right) = -17 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = -17 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0.$$

В результате, $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{17}{n^3} \right) = 0$.

в) $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{15}{n^2} \right)$:

Представляем выражение как произведение:

$$-\frac{15}{n^2} = -15 \cdot \frac{1}{n^2}.$$

Как и в предыдущем случае, исследуем предел $\frac{1}{n^2}$ при $n \to \infty$.

Известно, что $\frac{1}{n^2} \to 0$ при $n \to \infty$.

Получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{15}{n^2} \right) = -15 \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \right) = -15 \cdot 0 \cdot 0 = 0.$$

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{15}{n^2} \right) = 0$.

г) $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}}$:

Представляем выражение как произведение:

$$\frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Далее исследуем предел $\frac{1}{\sqrt{n}}$ при $n \to \infty$.

Мы знаем, что $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ при $n \to \infty$ (это стандартный предел для функции $\frac{1}{\sqrt{x}}$ при $x \to \infty$).

Получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 3 \cdot 0 = 0.$$

Следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0$.