ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$:

а) $x_n$ =

б) $x_n$ =$$

в) $x_n$ = $\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4}$${}_{}$

г) $x_n$ =

а) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{7}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}} + \frac{9}{n^3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{8}{\sqrt{n}} + \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^3} = 0 + 0 + 0 = 0$;

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(6-\frac{7}{n^2}-\frac{3}{n}-\frac{3}{\sqrt{n}})={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}6-{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n^2}-{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{n}-$

$\lim_{n \to \infty} \left( 6 — \frac{7}{n^2} — \frac{3}{n} — \frac{3}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} 6 — \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 6 — 0 — 0 — 0 = 6$;

в) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4})={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{n}+{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n^2}-{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{5}{n^3}+$

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2} — \frac{5}{n^3} + \frac{13}{n^4} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} — \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^3} + \lim_{n \to \infty} \frac{13}{n^4} = 0 + 0 — 0 + 0 = 0$;

г) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}+\frac{3}{\sqrt{n}}-4+\frac{7}{n^2})={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}-{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{\sqrt{n}}-{\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}4+$

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{\sqrt{n}} — 4 + \frac{7}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} — \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} — \lim_{n \to \infty} 4 + \lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^2} = 0 — 0 — 4 + 0 = -4$;

а) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{7}{n}+\frac{8}{\sqrt{n}}+\frac{9}{n^3})$

Разделим на составляющие части:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{7}{n}+\frac{8}{\sqrt{n}}+\frac{9}{n^3})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{8}{\sqrt{n}}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9}{n^3}\mathrm{.}$$

Исследуем пределы для каждой части:

• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{8}{\sqrt{n}}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{\sqrt{n}}$, который также стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{8}{\sqrt{n}}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{9}{n^3}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^3}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{9}{n^3}=0.$$

Объединяем результаты:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{7}{n}+\frac{8}{\sqrt{n}}+\frac{9}{n^3})=0+0+0=0.$$

Ответ: $0$.

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(6-\frac{7}{n^2}-\frac{3}{n}-\frac{3}{\sqrt{n}})$

Разделим на составляющие части:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(6-\frac{7}{n^2}-\frac{3}{n}-\frac{3}{\sqrt{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }6-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}\mathrm{.}$$

Исследуем пределы для каждой части:

• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}6$: Это постоянная величина, и предел постоянной величины равен самой величине. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }6=6.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n^2}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^2}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{n}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{\sqrt{n}}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{\sqrt{n}}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}=0.$$

Объединяем результаты:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(6-\frac{7}{n^2}-\frac{3}{n}-\frac{3}{\sqrt{n}})=6-0-0-0=6.$$

Ответ: $6$.

в) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4})$

Разделим на составляющие части:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{n^3}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{13}{n^4}\mathrm{.}$$

Исследуем пределы для каждой части:

• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{n}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{n}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n^2}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^2}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{5}{n^3}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^3}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{n^3}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{13}{n^4}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^4}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{13}{n^4}=0.$$

Объединяем результаты:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}-\frac{5}{n^3}+\frac{13}{n^4})=0+0-0+0=0.$$

Ответ: $0$.

г) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}+\frac{3}{\sqrt{n}}-4+\frac{7}{n^2})$

Разделим на составляющие части:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{n}+\frac{3}{\sqrt{n}}-4+\frac{7}{n^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }4+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}\mathrm{.}$$

Исследуем пределы для каждой части:

• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3}{\sqrt{n}}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{\sqrt{n}}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{\sqrt{n}}=0.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}4$: Это постоянная величина, и предел постоянной величины равен самой величине. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }4=4.$$
• ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7}{n^2}$: Это выражение имеет вид $\frac{1}{n^2}$, который стремится к нулю, так как ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=0$. Следовательно,$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7}{n^2}=0.$$

Объединяем результаты:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{n}+\frac{3}{\sqrt{n}}-4+\frac{7}{n^2})=0+0-4+0=-4.$$

Ответ: $-4$.

В итоге, мы получили результаты:

а) $0$,

б) $6$,

в) $0$,

г) $-4$.