ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$:

а) $x_n$ = 

б) $x_n$ =${ }_{}$

в) $x_n$ = $7\cdot 3^{-n}$

г) $x_n$ = 

а) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{5}{2^n}=5\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=5\cdot 0=0$;

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}\cdot 5^{-n})=\frac{1}{2}\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=\frac{1}{2}\cdot 0=0$;

в) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(7\cdot 3^{-n})=7\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=7\cdot 0=0$;

г) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{4}{3^{n+1}}=4\cdot {\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}=4\cdot 0=0$

Рассмотрим каждый из пределов поочередно, подробно разбирая каждый шаг. Нам нужно найти пределы, в которых присутствуют выражения типа ${\left(\frac{1}{a}\right)}^n$ при $n\to \mathrm{\infty }$, где $a>1$, так как такие выражения стремятся к нулю при $n\to \mathrm{\infty }$.

а) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{5}{2^n}$

Изначально выражение выглядит как $\frac{5}{2^n}$.

Мы можем переписать его как произведение:

$$\frac{5}{2^n}=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим предел ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

• Поскольку $\frac{1}{2}<1$, то при $n\to \mathrm{\infty }$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, так как степень числа, меньшего единицы, стремится к нулю по мере увеличения $n$.

Таким образом, имеем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5}{2^n}=5\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=5\cdot 0=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{5}{2^n}=0$.

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}\cdot 5^{-n})$

Исходное выражение:

$$\frac{1}{2}\cdot 5^{-n}\mathrm{.}$$

Мы можем переписать его как произведение:

$$\frac{1}{2}\cdot 5^{-n}=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^n\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим предел ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{5}\right)}^n$.

• Поскольку $\frac{1}{5}<1$, то при $n\to \mathrm{\infty }$ ${\left(\frac{1}{5}\right)}^n\to 0$, так как степень числа, меньшего единицы, стремится к нулю по мере увеличения $n$.

Таким образом, имеем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{2}\cdot 5^{-n})=\frac{1}{2}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=\frac{1}{2}\cdot 0=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}\cdot 5^{-n})=0$.

в) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(7\cdot 3^{-n})$

Исходное выражение:

$$7\cdot 3^{-n}\mathrm{.}$$

Мы можем переписать его как произведение:

$$7\cdot 3^{-n}=7\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим предел ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

• Поскольку $\frac{1}{3}<1$, то при $n\to \mathrm{\infty }$ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, так как степень числа, меньшего единицы, стремится к нулю по мере увеличения $n$.

Таким образом, имеем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(7\cdot 3^{-n})=7\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=7\cdot 0=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(7\cdot 3^{-n})=0$.

г) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{4}{3^{n+1}}$

Исходное выражение:

$$\frac{4}{3^{n+1}}\mathrm{.}$$

Мы можем переписать его как произведение:

$$\frac{4}{3^{n+1}}=4\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\mathrm{.}$$

Теперь рассмотрим предел ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}$.

• Поскольку $\frac{1}{3}<1$, то при $n\to \mathrm{\infty }$ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\to 0$, так как степень числа, меньшего единицы, стремится к нулю по мере увеличения $n$.

Таким образом, имеем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4}{3^{n+1}}=4\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}=4\cdot 0=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{4}{3^{n+1}}=0$.

Заключение

Все эти пределы сводятся к выражениям вида ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{a}\right)}^n$ при $a>1$, где такие выражения стремятся к нулю, а следовательно, результат для всех пределов будет равен 0.

Ответы:

а) $0$

б) $0$

в) $0$

г) $0$