ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$:

а) $x_n$ = 

б) $x_n$ =

в) $x_n$ = $\frac{3n+1}{n+2}$${}_{}$

г) $x_n$ = 

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{5 + 0}{1 + 0} = 5$;

б) $\lim_{n \to \infty} \frac{7n — 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 — \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{7 — 0}{1 + 0} = 7$;

в) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3$;

г) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n — 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 — \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{3 — 0} = \frac{2}{3}$.

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1}$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $n$

Мы можем упростить выражение, разделив как числитель, так и знаменатель на $n$. Это часто помогает в решении пределов, особенно когда $n \to \infty$:

$$\frac{5n + 3}{n + 1} = \frac{n(5 + \frac{3}{n})}{n(1 + \frac{1}{n})} = \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}.$$

Шаг 2: Пределы при $n \to \infty$

Теперь мы можем подставить $n \to \infty$ в выражение:

• $\frac{3}{n} \to 0$, так как при стремлении $n$ к бесконечности дробь становится всё меньше.
• $\frac{1}{n} \to 0$, так как эта дробь тоже стремится к нулю.

Таким образом, мы получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{5 + 0}{1 + 0} = \frac{5}{1} = 5.$$

Ответ: $\boxed{5}$.

б) $\lim_{n \to \infty} \frac{7n — 5}{n + 2}$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $n$

Так же, как и в предыдущем случае, разделим обе части дроби на $n$:

$$\frac{7n — 5}{n + 2} = \frac{n(7 — \frac{5}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \frac{7 — \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}.$$

Шаг 2: Пределы при $n \to \infty$

Теперь при $n \to \infty$:

• $\frac{5}{n} \to 0$,
• $\frac{2}{n} \to 0$.

Поэтому:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{7 — \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{7 — 0}{1 + 0} = \frac{7}{1} = 7.$$

Ответ: $\boxed{7}$.

в) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2}$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $n$

Аналогично предыдущим примерам, делим обе части на $n$:

$$\frac{3n + 1}{n + 2} = \frac{n(3 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}.$$

Шаг 2: Пределы при $n \to \infty$

При $n \to \infty$:

• $\frac{1}{n} \to 0$,
• $\frac{2}{n} \to 0$.

Следовательно:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3.$$

Ответ: $\boxed{3}$.

г) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n — 1}$

Шаг 1: Разделим числитель и знаменатель на $n$

Опять же, разделим обе части на $n$:

$$\frac{2n + 1}{3n — 1} = \frac{n(2 + \frac{1}{n})}{n(3 — \frac{1}{n})} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 — \frac{1}{n}}.$$

Шаг 2: Пределы при $n \to \infty$

При $n \to \infty$:

• $\frac{1}{n} \to 0$,
• $\frac{1}{n} \to 0$.

Получаем:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 — \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{3 — 0} = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{3}}$.

Итоговый результат:

а) $\boxed{5}$

б) $\boxed{7}$

в) $\boxed{3}$

г) $\boxed{\frac{2}{3}}$