ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$:

а) $x_n$ = 

б) $x_n$ =

в) $x_n$ =

г) $x_n$ = 

а) $x_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-6n+n-3}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2n^2-5n-3}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}{1}=\frac{2-0-0}{1}=2;$$

б) $x_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n+1{)}^2}=\frac{12n^2-3n+4n-1}{n^2+2n+1}=\frac{12n^2+n-1}{n^2+2n+1}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{12n^2+n-1}{n^2+2n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{12+0-0}{1+0+0}=12;$$

в) $x_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+9n-4n-6}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6n^2+5n-6}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}}{1}=\frac{6+0-0}{1}=6;$$

г) $x_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2{)}^2}=\frac{1+n-2n-2n^2}{n^2+4n+4}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}$;

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{0-0-2}{1+0+0}=-2$$

а) $x_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}$

Раскрытие скобок:

Мы начинаем с раскрытия скобок в числителе:

$$(2n+1)(n-3)=2n^2-6n+n-3=2n^2-5n-3$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}$$

Разделим каждый член числителя на $n^2$:

Разделим числитель на $n^2$ по терминам:

$$x_n=\frac{2n^2}{n^2}-\frac{5n}{n^2}-\frac{3}{n^2}=2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}$$

Вычисление предела при $n\to \mathrm{\infty }$:

Мы можем вычислить предел выражения $x_n$, подставив $n\to \mathrm{\infty }$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2})$$

При $n\to \mathrm{\infty }$, члены $\frac{5}{n}$ и $\frac{3}{n^2}$ стремятся к нулю, таким образом:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=2-0-0=2$$

б) $x_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n+1{)}^2}$

Раскрытие скобок в числителе:

Раскрываем скобки в числителе:

$$(3n+1)(4n-1)=12n^2-3n+4n-1=12n^2+n-1$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{12n^2+n-1}{(n+1{)}^2}$$

Раскрытие скобок в знаменателе:

Раскрываем скобки в знаменателе:

$$(n+1{)}^2=n^2+2n+1$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{12n^2+n-1}{n^2+2n+1}$$

Разделение числителя и знаменателя на $n^2$:

Разделим каждый термин числителя и знаменателя на $n^2$:

$$x_n=\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}$$

Вычисление предела при $n\to \mathrm{\infty }$:

При $n\to \mathrm{\infty }$, все члены, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю, то есть:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\frac{12+0-0}{1+0+0}=\frac{12}{1}=12$$

в) $x_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}$

Раскрытие скобок в числителе:

Раскрываем скобки в числителе:

$$(3n-2)(2n+3)=6n^2+9n-4n-6=6n^2+5n-6$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}$$

Разделение числителя на $n^2$:

Разделим каждый член числителя на $n^2$:

$$x_n=\frac{6n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}-\frac{6}{n^2}=6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}$$

Вычисление предела при $n\to \mathrm{\infty }$:

При $n\to \mathrm{\infty }$, члены $\frac{5}{n}$ и $\frac{6}{n^2}$ стремятся к нулю, таким образом:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=6+0-0=6$$

г) $x_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2{)}^2}$

Раскрытие скобок в числителе:

Раскрываем скобки в числителе:

$$(1-2n)(1+n)=1+n-2n-2n^2=1-n-2n^2$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{1-n-2n^2}{(n+2{)}^2}$$

Раскрытие скобок в знаменателе:

Раскрываем скобки в знаменателе:

$$(n+2{)}^2=n^2+4n+4$$

Таким образом, выражение для $x_n$ становится:

$$x_n=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}$$

Разделение числителя и знаменателя на $n^2$:

Разделим каждый член числителя и знаменателя на $n^2$:

$$x_n=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}$$

Вычисление предела при $n\to \mathrm{\infty }$:

При $n\to \mathrm{\infty }$, члены $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n}$, $\frac{4}{n}$, и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю, поэтому:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\frac{0-0-2}{1+0+0}=\frac{-2}{1}=-2$$

Таким образом, пределы для всех случаев:

а) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=2$

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=12$

в) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=6$

г) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=-2$