ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n$:

а) $x_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5}$;

б) $x_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+1-n}$;

в) $x_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}$;

г) $x_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+2n^2+1}$

а) $x_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5}$;

$x_n=\frac{6n^2-8n+3n-4-6n^2+12n}{n+5}=\frac{7n-4}{n+5}$;

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{7n-4}{n+5}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{7n}{n}-\frac{4}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{5}{n}}=\frac{7-0}{1+0}=7$;

б) $x_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+1-n}$;

$x_n=\frac{2n^3+5n^2-2n^3+5n^2-13}{n^3-7n^2+n^2-7n+1-n}=\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}$;

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{10n^2}{n^3}-\frac{13}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}-\frac{6n^2}{n^3}-\frac{8n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}=\frac{0-0}{1-0-0+0}=0$;

в) $x_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}$;

$x_n=\frac{n^2+1-n^3-n+n^3}{n^2+2n}=\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}$;

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}}=\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{1-0+0}{1+0}=1$;

г) $x_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+2n^2+1}$;

$x_n=\frac{7n-n^3+n^3-3n-1}{n^2+2n+n+2+2n^2+1}=\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}$;

${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{4n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{3n}{n^2}+\frac{3}{n^2}}=\frac{0-0}{3+0+0}=0$

а) $x_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5}$

Раскроем скобки в числителе:

$$(2n+1)(3n-4)=2n\cdot 3n+2n\cdot (-4)+1\cdot 3n+1\cdot (-4)=$$

$$=6n^2-8n+3n-4=6n^2-5n-4.$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$x_n=\frac{6n^2-5n-4-6n^2+12n}{n+5}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$6n^2-5n-4-6n^2+12n=(6n^2-6n^2)+(-5n+12n)-4=7n-4.$$

Теперь выражение примет вид:

$$x_n=\frac{7n-4}{n+5}\mathrm{.}$$

Найдем предел при $n\to \mathrm{\infty }$:

Для нахождения предела, разделим числитель и знаменатель на $n$ (наибольшую степень $n$ в знаменателе):

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{7n-4}{n+5}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{7n}{n}-\frac{4}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{5}{n}}=\frac{7-0}{1+0}=7.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=7$.

б) $x_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+1-n}$

Упростим числитель:

Раскроем скобки в числителе:

$$n^2(2n+5)=2n^3+5n^2\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$x_n=\frac{(2n^3+5n^2)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+1-n}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$2n^3+5n^2-2n^3+5n^2-13=10n^2-13.$$

Теперь перейдем к знаменателю.

Упростим знаменатель:

Раскроем скобки:

$$n(n+1)(n-7)=n(n^2-7n+n-7)=n(n^2-6n-7)=n^3-6n^2-7n\mathrm{.}$$

Теперь полный знаменатель:

$$n^3-6n^2-7n+1-n=n^3-6n^2-8n+1.$$

Теперь подставим числитель и знаменатель:

$$x_n=\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}\mathrm{.}$$

Найдем предел при $n\to \mathrm{\infty }$:

Разделим числитель и знаменатель на $n^3$ (наибольшую степень $n$ в знаменателе):

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{10n^2}{n^3}-\frac{13}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}-\frac{6n^2}{n^3}-\frac{8n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}=\frac{0-0}{1-0-0+0}=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=0$.

в) $x_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}$

Раскроем скобки в числителе:

$$(1-n)(n^2+1)=1\cdot (n^2+1)-n\cdot (n^2+1)=n^2+1-n^3-n\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$x_n=\frac{n^2+1-n^3-n+n^3}{n^2+2n}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$n^2+1-n^3-n+n^3=n^2-n+1.$$

Теперь выражение примет вид:

$$x_n=\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}\mathrm{.}$$

Найдем предел при $n\to \mathrm{\infty }$:

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2-n+1}{n^2+2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}}=\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}\mathrm{.}$$

При $n\to \mathrm{\infty }$:

$$\frac{1-0+0}{1+0}=1.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=1$.

г) $x_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+2n^2+1}$

Упростим числитель:

Раскроем скобки:

$$n(7-n^2)=7n-n^3\mathrm{.}$$

Теперь подставим это в выражение:

$$x_n=\frac{7n-n^3+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+2n^2+1}\mathrm{.}$$

Упростим числитель:

$$7n-n^3+n^3-3n-1=4n-1.$$

Упростим знаменатель:

Раскроем скобки:

$$(n+1)(n+2)=n^2+2n+n+2=n^2+3n+2.$$

Теперь полный знаменатель:

$$n^2+3n+2+2n^2+1=3n^2+3n+3.$$

Теперь подставим числитель и знаменатель:

$$x_n=\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}\mathrm{.}$$

Найдем предел при $n\to \mathrm{\infty }$:

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4n-1}{3n^2+3n+3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{4n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{3n}{n^2}+\frac{3}{n^2}}=\frac{0-0}{3+0+0}=0.$$

Ответ: ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}_n=0$.

Итоговые ответы:

а) 7
б) 0
в) 1
г) 0