ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \right)$;

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right)$

а) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \right)$;

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2-1}{2} + \frac{3-2}{6} + \frac{4-3}{12} + \cdots + \frac{n+1-n}{n(n+1)} \right);$$ $$\lim_{n \to \infty} \left( \left( 1 — \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right) \right);$$ $$\lim_{n \to \infty} \left( 1 — \frac{1}{n+1} \right) = \lim_{n \to \infty} 1 — \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 — \frac{0}{1+0} = 1 — 0 = 1;$$

Ответ: $1$.

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right)$;

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3-1}{3} + \frac{5-3}{15} + \frac{7-5}{35} + \cdots + \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \right) \right);$$ $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \cdot \left( \left( 1 — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \right) \right);$$ $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \cdot \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right) \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( \lim_{n \to \infty} 1 — \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( 1 — \frac{0}{2+0} \right) = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

а) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \right)$

Исходная сумма:

Сначала мы рассмотрим сумму вида:

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:

Общее слагаемое имеет вид $\frac{1}{k(k+1)}$. Используем разложение на простые дроби:

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1}.$$

Подставим это разложение в каждый элемент суммы:

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} — \frac{1}{k+1} \right).$$

Суммирование:

Эта сумма является телескопической, что означает, что многие термины в сумме сокращаются. Распишем первые несколько элементов:

$$S_n = \left( 1 — \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} \right).$$

Видно, что в этой сумме все внутренние термины (такие как $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$) сокращаются. Остаться должны только два термина:

$$S_n = 1 — \frac{1}{n+1}.$$

Предел при $n \to \infty$:

Теперь вычислим предел этой суммы при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 — \frac{1}{n+1} \right).$$

Поскольку $\frac{1}{n+1} \to 0$ при $n \to \infty$, получаем:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = 1 — 0 = 1.$$

Ответ: $\boxed{1}$.

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right)$

Исходная сумма:

Рассмотрим сумму:

$$T_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:

Рассмотрим общее слагаемое $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$. Попробуем разложить его на простые дроби:

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}.$$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, умножим обе стороны на $(2k-1)(2k+1)$:

$$1 = A(2k+1) + B(2k-1).$$

Раскроем скобки:

$$1 = A(2k) + A + B(2k) — B = (2k)(A + B) + (A — B).$$

Для того чтобы это равенство выполнялось при любом $k$, должно выполняться следующее:

$$A + B = 0, \quad A — B = 1.$$

Решая систему этих уравнений, получаем:

$$A = \frac{1}{2}, \quad B = -\frac{1}{2}.$$

Таким образом, разложение будет следующим:

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} — \frac{1}{2k+1} \right).$$

Подставляем в сумму:

Теперь подставим это разложение в нашу сумму:

$$T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} — \frac{1}{2k+1} \right).$$

Раскроем скобки:

$$T_n = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} — \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} — \frac{1}{2n+1} \right) \right).$$

Это снова телескопическая сумма, где сокращаются все внутренние термины. Остаются только первые и последние элементы:

$$T_n = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right).$$

Предел при $n \to \infty$:

Теперь вычислим предел этой суммы при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} T_n = \frac{1}{2} \left( 1 — \frac{1}{2n+1} \right).$$

Поскольку $\frac{1}{2n+1} \to 0$ при $n \to \infty$, получаем:

$$\lim_{n \to \infty} T_n = \frac{1}{2} \left( 1 — 0 \right) = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2}}$.